Untuk menyelesaikan masalah ini, kita perlu memahami beberapa konsep dasar tentang komposisi fungsi dan invers fungsi. Mari kita mulai dengan mendefinisikan notasi yang diberikan:1. \((f \circ g)(x) = \frac{3x+1}{2x+1}\)2. \((g^{-1} \circ h)(x) = 3x - 2\)Kita diminta untuk menemukan \((f \circ h)^{-1}(2)\).Langkah pertama adalah menemukan ekspresi untuk \(h(x)\). Karena kita tahu bahwa \((g^{-1} \circ h)(x) = 3x - 2\), kita dapat menyatakan bahwa:
Selanjutnya, kita perlu menemukan \(f \circ h(x)\). Kita sudah tahu bahwa:
Jadi, jika kita mengganti \(g(x)\) dengan \(h(x)\), kita mendapatkan:
Sekarang kita substitusikan \(h(x) = g(3x - 2)\) ke dalam persamaan di atas:
Karena kita tidak memiliki bentuk eksplisit dari \(g(x)\), kita akan mencoba mencari invers dari \(f \circ h(x)\) yang disebut \((f \circ h)^{-1}(x)\).Diketahui bahwa \((f \circ h)^{-1}(2)\) adalah nilai
yang memenuhi:
Jadi kita harus mencari
sedemikian rupa sehingga:
Mari kita selesaikan persamaan ini:
Kalikan kedua sisi dengan \(2g(3x - 2) + 1\):
Sederhanakan:
Pindahkan semua ke satu sisi:
Sekarang kita perlu mencari
yang memenuhi \(g(3x - 2) = -1\). Karena kita tidak memiliki bentuk eksplisit dari \(g(x)\), kita akan mencoba mencari invers dari \(g(x)\) yang disebut \(g^{-1}(x)\).Jika \(g(a) = -1\), maka \(a = g^{-1}(-1)\).Namun, tanpa informasi lebih lanjut tentang \(g(x)\), kita tidak bisa menentukan \(g^{-1}(-1)\). Oleh karena itu, kita harus mencoba metode lain atau informasi tambahan untuk menyelesaikan masalah ini.Namun, jika kita melihat pilihan jawaban, kita bisa mencoba mencari nilai
yang memenuhi \((f \circ h)(x) = 2\) dengan mencoba setiap pilihan jawaban.Setelah mencoba beberapa pilihan, kita menemukan bahwa:Jika
, maka:
Jadi, jawaban yang benar adalah:A. \(\frac{