1. Apakah grup Z_(20) merupakan grup siklis?Jika iva,Tentukar pembangun dari grup Z_(20) 2. Misalkan H= (1),(12)(34),(13)(24),(14)(23) Carilah Koset Kiri dari H pada S_(4) 3. Misalkan G= T_(a,b)vert T_(a,b):Rarrow R) dengan T_(a,b)=ax+b,forall a,b,x,in R dan aneq 0. G dengan komposisi fungsi adalah suatu grup . Sedangkan H= T_(a,b)in Gvert ain Q,bin R) . H dengan komposisi fungsi merupakan subgrup dari G. Buktikan bahwa H subgrup normal dari G! 4. Periksa apakah berikut ini suatu homorfisma, selanjutnya analisis apakah Lemasuk Monomorfisma,Epimorfisma, atau isomorfisma,serta tentukan juga kernel dan imagenxa!dan macam-macam homorfisma) f:M_(2)(R)arrow R didefiniskan dengan f((} a&b c&d ))=c+d Dimana M_(2)(R) adalah suatu grup penjumlahan matriks 2times 2 dengan entrinya pada IR

Mari kita bahas setiap pertanyaan satu per satu:1. **Apakah grup merupakan grup siklis? Jika ya, tentukan pembangun dari grup .** Grup adalah grup bilangan bulat modulo 20. Untuk menentukan apakah ini adalah grup siklis, kita perlu mencari elemen pembangun (generator) dari grup ini. Elemen pembangun adalah elemen yang dapat menghasilkan semua elemen lain dalam grup melalui operasi grup. Dalam kasus , elemen pembangunnya adalah 3, karena dengan operasi penjumlahan modulo 20, kita dapat menghasilkan semua elemen dalam dengan menggandakan elemen ini beberapa kali. Jadi, adalah grup siklis dengan pembangun 3.2. **Misalkan \( H = \{ (1), (12)(34), (13)(24), (14)(23) \} \). Carilah koset kiri dari pada .** Koset kiri dari suatu elemen dalam grup adalah himpunan semua elemen yang dapat dihasilkan dengan mengalikan dengan elemen dari subgrup tersebut. Dalam hal ini, kita ingin mencari semua koset kiri dari elemen-elemen dalam . Koset kiri dari \( (1) \): Koset kiri dari \( (12)(34) \): Koset kiri dari \( (13)(24) \): 3. **Buktikan bahwa adalah subgrup normal dari .** Untuk membuktikan bahwa adalah subgrup normal dari , kita perlu menunjukkan dua hal: - adalah subgrup dari . - adalah subgrup normal, yaitu untuk setiap elemen dan , . Karena didefinisikan sebagai himpunan semua transformasi yang dapat ditulis dalam bentuk dengan dan , dan operasi komposisi fungsi adalah kontinu, maka memenuhi kedua kondisi tersebut, sehingga adalah subgrup normal dari .4. **Periksa apakah pemetaan berikut ini suatu homomorfisme, selanjutnya analisis apakah termasuk epimorfisme, atau isomorfisme, serta tentukan juga kernel dan imagenya.** Pemetaan yang diberikan adalah \( f: M_2(\mathbb{R}) \rightarrow \mathbb{R} \) dengan \( f\left(\begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix}\right) = c + d \). - **Homomorfisme:** Pemetaan ini adalah homomorfisme karena \( f(A + B) = f(A) + f(B) \) untuk semua matriks dan . - **Epimorfisme:** Pemetaan ini bukan epimorfisme karena tidak setiap elemen di dapat dicapai oleh pemetaan ini (misalnya, tidak mencapai elemen 0 jika ). - **Isomorfisme:** Pemetaan ini bukan