Soal Matematika Hitunglah volume benda putar yang dihasilkan jika daerah yang dibatasi oleh kurva y=x^2 dan y=x diputar mengelilingi sumbu y .

Untuk menghitung volume benda putar yang dihasilkan jika daerah yang dibatasi oleh kurva y = x² dan y = x diputar mengelilingi sumbu y, kita akan menggunakan metode cakram (disk method) dengan mengintegral terhadap sumbu y.**1. Menentukan titik potong:**Pertama, kita perlu mencari titik potong antara kedua kurva y = x² dan y = x. Kita samakan kedua persamaan:x² = xx² - x = 0x(x - 1) = 0Jadi, titik potongnya adalah x = 0 dan x = 1. Ini berarti daerah yang kita perhatikan berada di antara x = 0 dan x = 1. Karena kita akan mengintegral terhadap y, kita perlu menyatakan x sebagai fungsi y.Dari y = x², kita dapatkan x = √y.Dari y = x, kita dapatkan x = y.**2. Menentukan batas integral:**Batas integral kita adalah nilai y yang sesuai dengan titik potong. Ketika x = 0, y = 0. Ketika x = 1, y = 1. Jadi, batas integral kita adalah dari y = 0 sampai y = 1.**3. Menerapkan metode cakram:**Volume benda putar yang dihasilkan dengan metode cakram diberikan oleh rumus:V = π ∫[R(y)² - r(y)²] dydi mana:* R(y) adalah jari-jari luar (jarak dari sumbu y ke kurva x = y)* r(y) adalah jari-jari dalam (jarak dari sumbu y ke kurva x = √y)Dalam kasus ini:R(y) = yr(y) = √yMaka rumus volumenya menjadi:V = π ∫₀¹ [(y)² - (√y)²] dyV = π ∫₀¹ (y² - y) dy**4. Melakukan integrasi:**V = π [ (y³/3) - (y²/2) ]₀¹V = π [ (1³/3) - (1²/2) - (0³/3) + (0²/2) ]V = π [ (1/3) - (1/2) ]V = π [ (2 - 3) / 6 ]V = π (-1/6)Karena volume tidak bisa negatif, kita ambil nilai absolutnya:V = π/6**Kesimpulan:**Volume benda putar yang dihasilkan jika daerah yang dibatasi oleh kurva y = x² dan y = x diputar mengelilingi sumbu y adalah π/6 satuan volume.