5. Sebuah benda bermassa m=2 kg terhubung pada pegas dengan konstanta pegas k= 50N/m Benda tersebut bergetar harmonik sederhana di atas permukaan datar licin tanpa gesekan. Pada saat t=0, benda berada pada posisi sejauh x_(0)=0.1 m dari titik keseimbangan dengan kecepatan awal v_(0)=0m/s (a) Gunakan hukum II Newton untuk menurunkan persamaan diferensial gerak benda dan tentukan solusi umum dari persamaan tersebut. (b) Tentukan energi mekanik total sistem, energi kinetik , dan energi potensial sebagai fungsi waktu. (c) Hitung periode dan frekuensi osilasi benda. (d) Tentukan kecepatan maksimum dan percepatan maksimum benda. (e) Pada waktu t=(pi )/(4omega ) tentukan posisi, kecepatan, energi kinetik, dan energi potensial benda.

Berikut penyelesaian soal gerak harmonik sederhana:**(a) Menurunkan Persamaan Diferensial dan Solusi Umum**Hukum II Newton menyatakan bahwa ΣF = ma, di mana ΣF adalah resultan gaya, m adalah massa, dan a adalah percepatan. Pada sistem pegas massa, gaya pemulih pegas diberikan oleh Hukum Hooke: F = -kx, di mana k adalah konstanta pegas dan x adalah simpangan dari titik kesetimbangan.Jadi, persamaan gerak menjadi:-kx = m(d²x/dt²)ataud²x/dt² + (k/m)x = 0Ini adalah persamaan diferensial orde kedua linier homogen dengan koefisien konstan. Solusi umum persamaan ini adalah:x(t) = A cos(ωt + φ)di mana:* A adalah amplitudo osilasi* ω adalah frekuensi sudut (ω = √(k/m))* φ adalah konstanta fase**(b) Energi Mekanik Total, Energi Kinetik, dan Energi Potensial*** **Energi Mekanik Total (E):** Energi mekanik total dalam sistem GHS adalah konstan dan merupakan jumlah energi kinetik (K) dan energi potensial (U):E = K + U = ½mv² + ½kx²Substitusikan x(t) = A cos(ωt + φ) dan v(t) = -Aω sin(ωt + φ) ke dalam persamaan energi:E = ½m(Aω)²sin²(ωt + φ) + ½k(A)²cos²(ωt + φ) = ½kA² (karena ω² = k/m)* **Energi Kinetik (K):**K(t) = ½m(v(t))² = ½m(Aω)²sin²(ωt + φ) = ½kA²sin²(ωt + φ)* **Energi Potensial (U):**U(t) = ½kx(t)² = ½k(A)²cos²(ωt + φ) = ½kA²cos²(ωt + φ)**(c) Periode dan Frekuensi Osilasi**Frekuensi sudut (ω):ω = √(k/m) = √(50 N/m / 2 kg) = 5 rad/sPeriode (T):T = 2π/ω = 2π/5 s ≈ 1.26 sFrekuensi (f):f = 1/T = 5/(2π) Hz ≈ 0.796 Hz**(d) Kecepatan Maksimum dan Percepatan Maksimum*** **Kecepatan Maksimum (vmax):**vmax = Aω = (0.1 m)(5 rad/s) = 0.5 m/s* **Percepatan Maksimum (amax):**amax = Aω² = (0.1 m)(5 rad/s)² = 2.5 m/s²**(e) Posisi, Kecepatan, Energi Kinetik, dan Energi Potensial pada t = π/(4ω)**Pada t = π/(4ω) = π/(4*5) = π/20 s:* **Posisi (x):**x(π/20) = A cos(ω(π/20) + φ)Karena v₀ = 0 pada t=0, maka φ = 0 dan A = x₀ = 0.1 m. Sehingga:x(π/20) = 0.1 cos(π/4) = 0.1 (√2/2) ≈ 0.071 m* **Kecepatan (v):**v(π/20) = -Aω sin(π/4) = -(0.1 m)(5 rad/s)(√2/2) ≈ -0.354 m/s* **Energi Kinetik (K):**K(π/20) = ½kA²sin²(π/4) = ½(50 N/m)(0.1 m)²(1/2) = 0.125 J* **Energi Potensial (U):**U(π/20) = ½kA²cos²(π/4) = ½(50 N/m)(0.1 m)²(1/2) = 0.125 JKesimpulannya, pada waktu t = π/(4ω), energi kinetik dan energi potensial sama besar, sesuai dengan sifat konservatif energi dalam sistem GHS.