3. Budi mengkonsumsi dua macam barang, yaitu X dan Y. total kepuasan (TU) yang diperoleh dalam mengkonsumsi kedua macam barang tersebut ditunjukkan dalam persamaan; TU=10X+24Y-0,5X^2-0,5Y^2 TU adalah total kepuasan dalam mengkonsumsi barang X dan Y X adalah jumlah barang X yang dikonsumsi Y adalah jumlah barang Y yang dikonsumsi Harga barang X diketahui Rp.1 harga barang Y adalah Rp.4 dan anggaran yang tersedia untuk membeli barang X dan barang Y adalah Rp.50 Tentukan jumlah barang X dan jumlah barang Y harus dikonsumsi agar diperoleh kepuasan total maksimum. Tentukan kepuasan total yang dapat diperoleh dari konsumsi barang X dan barang Y.

Berikut langkah-langkah untuk menentukan jumlah barang X dan Y yang harus dikonsumsi agar diperoleh kepuasan total maksimum:**1. Menentukan Fungsi Kendala**Fungsi kendala menggambarkan batasan anggaran yang tersedia untuk membeli barang X dan Y. Dalam kasus ini, fungsi kendala adalah:```1X + 4Y = 50```**2. Menentukan Fungsi Tujuan**Fungsi tujuan adalah fungsi yang ingin kita maksimalkan, yaitu total kepuasan (TU). Dalam kasus ini, fungsi tujuan adalah:```TU = 10X + 24Y - 0.5X² - 0.5Y²```**3. Mencari Titik Optimum**Untuk mencari titik optimum, kita perlu menggunakan metode Lagrange. Metode Lagrange digunakan untuk mencari nilai maksimum atau minimum dari suatu fungsi dengan batasan tertentu.Langkah-langkah metode Lagrange:* **Membentuk Fungsi Lagrange:** Fungsi Lagrange (L) dibentuk dengan menggabungkan fungsi tujuan (TU) dan fungsi kendala (g) dengan menggunakan pengali Lagrange (λ): ``` L = TU + λ(g) L = 10X + 24Y - 0.5X² - 0.5Y² + λ(50 - X - 4Y) ```* **Mencari Turunan Parsial:** Hitung turunan parsial dari fungsi Lagrange terhadap X, Y, dan λ: ``` ∂L/∂X = 10 - X - λ = 0 ∂L/∂Y = 24 - Y - 4λ = 0 ∂L/∂λ = 50 - X - 4Y = 0 ```* **Memecahkan Sistem Persamaan:** Selesaikan sistem persamaan di atas untuk mendapatkan nilai X, Y, dan λ. Dari persamaan pertama, kita dapatkan: ``` X = 10 - λ ``` Dari persamaan kedua, kita dapatkan: ``` Y = 24 - 4λ ``` Substitusikan nilai X dan Y ke dalam persamaan ketiga: ``` 50 - (10 - λ) - 4(24 - 4λ) = 0 ``` Selesaikan persamaan di atas untuk mendapatkan nilai λ: ``` λ = 2 ``` Substitusikan nilai λ ke dalam persamaan X dan Y: ``` X = 10 - 2 = 8 Y = 24 - 4(2) = 16 ```**4. Menentukan Kepuasan Total Maksimum**Substitusikan nilai X dan Y yang diperoleh ke dalam fungsi tujuan (TU):```TU = 10(8) + 24(16) - 0.5(8)² - 0.5(16)² = 160```**Kesimpulan**Untuk memperoleh kepuasan total maksimum, Budi harus mengkonsumsi 8 unit barang X dan 16 unit barang Y. Kepuasan total yang dapat diperoleh dari konsumsi barang X dan Y adalah 160.