2. Misalkan Zadalah grup dari bilangan bilangan bulat, maka pengaitan di bawah ini mana yang merupakan homomorfisma dan mana yang bukan : forall ain Z a g(a)=vert avert b. h(a)=2a,c.k(a)=2^a d. 1(a)=0 e p(a)=-a selanjutnya, selidiki homomorfisma tersebut monombrfisma, epimorfisma atau isomorfisma atau bukan

Mari kita periksa setiap pemetaan untuk menentukan apakah merupakan homomorfisma grup dari grup bilangan bulat (ℤ, +) ke grup lain, dan jika ya, jenis homomorfisma apa itu (monomorfisma, epimorfisma, isomorfisma, atau bukan). Ingat bahwa pemetaan φ: (G, *) → (H, ·) adalah homomorfisma grup jika φ(x * y) = φ(x) · φ(y) untuk semua x, y ∈ G. Dalam kasus kita, operasi grup adalah penjumlahan (+).**a. g(a) = |a|**Periksa apakah g(a+b) = g(a) + g(b):g(a+b) = |a+b|g(a) + g(b) = |a| + |b||a+b| ≠ |a| + |b| untuk banyak kasus (misalnya, a=1, b=-1). |1+(-1)| = 0, tetapi |1| + |-1| = 2. Oleh karena itu, **g(a) = |a| bukanlah homomorfisma.****b. h(a) = 2a**Periksa apakah h(a+b) = h(a) + h(b):h(a+b) = 2(a+b) = 2a + 2bh(a) + h(b) = 2a + 2bh(a+b) = h(a) + h(b). Jadi, **h(a) = 2a adalah homomorfisma.*** **Monomorfisma?** Ya, karena jika h(a) = h(b), maka 2a = 2b, yang menyiratkan a = b. Jadi, pemetaan injektif (satu-satu).* **Epimorfisma?** Tidak, karena codomainnya adalah ℤ, tetapi range dari h(a) hanya bilangan genap. Jadi, pemetaan tidak surjektif (onto).* **Isomorfisma?** Tidak, karena bukan epimorfisma.**c. k(a) = 2a**Periksa apakah k(a+b) = k(a) + k(b):k(a+b) = 2a+b = 2a * 2bk(a) + k(b) = 2a + 2b2a * 2b ≠ 2a + 2b (kecuali untuk kasus-kasus trivial). Oleh karena itu, **k(a) = 2a bukanlah homomorfisma.** (Perhatikan bahwa ini adalah homomorfisma jika operasi pada codomain adalah perkalian, bukan penjumlahan).**d. l(a) = 0**Periksa apakah l(a+b) = l(a) + l(b):l(a+b) = 0l(a) + l(b) = 0 + 0 = 0l(a+b) = l(a) + l(b). Jadi, **l(a) = 0 adalah homomorfisma.*** **Monomorfisma?** Tidak, karena banyak elemen yang dipetakan ke 0.* **Epimorfisma?** Tidak, karena hanya memetakan ke 0.* **Isomorfisma?** Tidak, karena bukan monomorfisma dan epimorfisma.**e. p(a) = -a**Periksa apakah p(a+b) = p(a) + p(b):p(a+b) = -(a+b) = -a - bp(a) + p(b) = -a + (-b) = -a - bp(a+b) = p(a) + p(b). Jadi, **p(a) = -a adalah homomorfisma.*** **Monomorfisma?** Ya, karena jika p(a) = p(b), maka -a = -b, yang menyiratkan a = b.* **Epimorfisma?** Ya, karena setiap bilangan bulat b memiliki pasangan -b dalam ℤ.* **Isomorfisma?** Ya, karena merupakan monomorfisma dan epimorfisma.Kesimpulan: Hanya h(a) = 2a dan p(a) = -a yang merupakan homomorfisma. Hanya p(a) = -a yang merupakan isomorfisma. h(a) = 2a adalah monomorfisma, tetapi bukan epimorfisma atau isomorfisma. l(a) = 0 adalah homomorfisma, tetapi bukan monomorfisma, epimorfisma, atau isomorfisma.