1. Sebuah partikel bergerak dalam bidang dua dimensi dengan posisi dinyatakan dalam sistem koordinat polar (r,Theta ) Posisi partikel sebagai fungsi waktu diberikan oleh: r(t)=3t^2+2, Theta (t)=(pi )/(4)t^2 dengan r dalam meter , t dalam detik, dan Theta dalam radian. (a) Tentukan komponen kecepatan partikel dalam arah radial (v_(r)) dan arah sudut (v_(Theta )) pada waktu t=2 detik. (b) Hitung besar kecepatan total partikel pada waktu t=2 detik. (c) Tentukan komponen percepatan partikel dalam arah radial (a_(r)) dan arah sudut (a_(Theta )) pada waktu t=2 detik. (d) Hitung besar percepatan total partikel pada waktu t=2 detik.

Berikut penyelesaian soal gerak partikel dalam koordinat polar:**a) Komponen kecepatan radial (vr) dan sudut (vθ) pada t = 2 detik**Kecepatan radial dan sudut dalam koordinat polar didefinisikan sebagai:* vr = dr/dt* vθ = r dθ/dtDari persamaan posisi yang diberikan:r(t) = 3t² + 2θ(t) = (π/4)t²Kita cari turunannya terhadap waktu:* dr/dt = 6t* dθ/dt = (π/2)tPada t = 2 detik:* vr = 6(2) = 12 m/s* vθ = (3t² + 2)(π/2)(2) = (14)(π) = 14π m/sJadi, pada t = 2 detik, komponen kecepatan radial adalah 12 m/s dan komponen kecepatan sudut adalah 14π m/s.**b) Besar kecepatan total pada t = 2 detik**Besar kecepatan total (v) dihitung menggunakan teorema Pythagoras:v = √(vr² + vθ²)Pada t = 2 detik:v = √(12² + (14π)²) ≈ √(144 + 196π²) ≈ √(144 + 1936.1) ≈ √2080.1 ≈ 45.61 m/sJadi, besar kecepatan total pada t = 2 detik adalah sekitar 45.61 m/s.**c) Komponen percepatan radial (ar) dan sudut (aθ) pada t = 2 detik**Komponen percepatan radial dan sudut dalam koordinat polar didefinisikan sebagai:* ar = d²r/dt² - r(dθ/dt)²* aθ = r(d²θ/dt²) + 2(dr/dt)(dθ/dt)Kita telah menemukan dr/dt = 6t dan dθ/dt = (π/2)t. Selanjutnya kita cari turunan keduanya:* d²r/dt² = 6* d²θ/dt² = π/2Pada t = 2 detik:* ar = 6 - (3(2)² + 2)((π/2)(2))² = 6 - 14π² ≈ 6 - 138.23 ≈ -132.23 m/s²* aθ = (3(2)² + 2)(π/2) + 2(6(2))((π/2)(2)) = 14(π/2) + 24π = 7π + 24π = 31π ≈ 97.39 m/s²Jadi, pada t = 2 detik, komponen percepatan radial adalah sekitar -132.23 m/s² dan komponen percepatan sudut adalah sekitar 97.39 m/s².**d) Besar percepatan total pada t = 2 detik**Besar percepatan total (a) dihitung menggunakan teorema Pythagoras:a = √(ar² + aθ²)Pada t = 2 detik:a = √((-132.23)² + (31π)²) ≈ √(17486.7 + 9566.2) ≈ √27052.9 ≈ 164.47 m/s²Jadi, besar percepatan total pada t = 2 detik adalah sekitar 164.47 m/s².**Kesimpulan:**Pada t = 2 detik, partikel memiliki kecepatan sekitar 45.61 m/s dan percepatan sekitar 164.47 m/s². Perhatikan bahwa percepatan radial negatif, menunjukkan bahwa komponen percepatan radial mengarah ke arah pusat.