Untuk menentukan keuntungan maksimum dengan menggunakan multiplier Lagrange, kita perlu mengikuti langkah berikut:1. **Fungsi Lagrange:** Kita memiliki fungsi produksi
dan kita ingin memaksimalkan keuntungan. Keuntungan (
) dapat dinyatakan sebagai:
Di mana \( P(Z) \) adalah harga output dan \( C(X, Y) \) adalah biaya input. Diketahui: - Harga output
- Harga input
- Harga input
Maka, keuntungan menjadi:
2. **Membentuk Fungsi Lagrange:** Kita tambahkan multiplier Lagrange (
) untuk memastikan bahwa kita memenuhi batasan biaya. Fungsi Lagrange adalah:
Karena
, maka:
3. **Menghitung Turunan Pertama:** Untuk memaksimalkan keuntungan, kita harus mencari turunan pertama dari
terhadap
dan
, lalu samakan dengan nol.
4. **Menyelesaikan Persamaan:** Dari turunan pertama, kita dapatkan:
Kedua persamaan konsisten dengan
.5. **Substitusi Kembali:** Dengan
, kita substitusikan kembali ke dalam fungsi produksi untuk menemukan nilai
dan
yang memaksimalkan keuntungan. Dari
:
Dari
:
6. **Menghitung Keuntungan Maksimum:** Substitusikan
dan
ke dalam fungsi produksi
:
Maka, keuntungan maksimum adalah:
Jadi, keuntungan maksimum adalah **157**.