Untuk menyelesaikan soal ini, kita perlu memahami beberapa konsep dasar dari vektor dan operasi silang (cross product). Mari kita evaluasi ekspresi yang diberikan langkah demi langkah.1. **Unit Vectors dan Sudut Antara Mereka:** - Vektor
dan
adalah vektor satuan, yang berarti panjangnya adalah 1. - Sudut antara
dan
adalah
.2. **Vektor Perpendicular:** - Vektor
adalah vektor satuan yang tegak lurus terhadap kedua
dan
. Ini berarti
dan
.3. **Cross Product:** - Cross product dari dua vektor
dan
adalah vektor
yang panjangnya sama dengan luas paralelogram yang dibentuk oleh
dan
, dan arahnya ditentukan oleh aturan tangan kanan.Mari kita hitung setiap bagian dari ekspresi:### Langkah 1: Hitung
dan
adalah vektor satuan dengan sudut
di antara mereka, maka:
Arah dari
adalah tegak lurus terhadap bidang yang dibentuk oleh
dan
.### Langkah 2: Hitung
Karena
, maka:
Arah dari
adalah sejajar dengan
karena
tegak lurus terhadap
.### Langkah 3: Hitung \( (\mathbf{A} \times \mathbf{B}) \times (\mathbf{B} \times \mathbf{C}) \)Karena
sejajar dengan
, maka:
### Langkah 4: Hitung
Karena
tegak lurus terhadap
, maka:
Arah dari
adalah sejajar dengan
karena
tegak lurus terhadap
.### Langkah 5: Hitung \( [( \mathbf{A} \times \mathbf{B} ) \times ( \mathbf{B} \times \mathbf{C} )] \times ( \mathbf{C} \times \mathbf{A} ) \)Karena \( (\mathbf{A} \times \math