Menganalisis Batas Fungsi \( \lim _{x \rightarrow \infty} \frac{(2-5 x)^{3}}{x+4} \)

Dalam matematika, batas fungsi adalah konsep yang penting dalam mempelajari perilaku fungsi saat variabel mendekati suatu nilai tertentu. Dalam artikel ini, kita akan menganalisis batas fungsi \( \lim _{x \rightarrow \infty} \frac{(2-5 x)^{3}}{x+4} \) dan mencoba memahami apa yang terjadi saat \( x \) mendekati tak hingga. Pertama-tama, mari kita perhatikan fungsi tersebut. Fungsi ini memiliki bentuk pecahan dengan polinomial pada pembilang dan penyebut. Pada pembilang, kita memiliki \( (2-5 x)^{3} \), sedangkan pada penyebut, kita memiliki \( x+4 \). Ketika \( x \) mendekati tak hingga, kita dapat melihat bahwa suku dengan pangkat tertinggi pada pembilang dan penyebut akan mendominasi. Dalam hal ini, suku \( -5x \) pada pembilang dan suku \( x \) pada penyebut akan menjadi yang paling berpengaruh. Ketika \( x \) mendekati tak hingga, suku \( -5x \) pada pembilang akan mendekati tak hingga negatif, sedangkan suku \( x \) pada penyebut akan mendekati tak hingga positif. Oleh karena itu, kita dapat mengatakan bahwa fungsi ini akan mendekati tak hingga negatif. Namun, untuk memastikan analisis kita, kita dapat menggunakan aturan L'Hopital. Aturan ini memungkinkan kita untuk menghitung batas fungsi dengan menghitung turunan dari pembilang dan penyebut secara terpisah. Dalam kasus ini, kita akan menghitung turunan dari \( (2-5 x)^{3} \) dan \( x+4 \). Turunan dari \( (2-5 x)^{3} \) adalah \( -15(2-5 x)^{2} \) dan turunan dari \( x+4 \) adalah 1. Ketika \( x \) mendekati tak hingga, turunan dari \( (2-5 x)^{3} \) akan mendekati tak hingga negatif, sedangkan turunan dari \( x+4 \) akan tetap 1. Oleh karena itu, kita dapat mengatakan bahwa batas fungsi \( \lim _{x \rightarrow \infty} \frac{(2-5 x)^{3}}{x+4} \) adalah tak hingga negatif. Dalam kesimpulan, analisis kita menunjukkan bahwa batas fungsi \( \lim _{x \rightarrow \infty} \frac{(2-5 x)^{3}}{x+4} \) adalah tak hingga negatif. Dengan menggunakan aturan L'Hopital, kita dapat memastikan hasil ini.