Mencari Nilai \( x, y \), dan \( z \) dalam Persamaan Matriks

Dalam matematika, persamaan matriks adalah alat yang digunakan untuk mencari solusi dari sistem persamaan linear. Dalam kasus ini, kita diberikan persamaan matriks berikut: \[ \left(\begin{array}{ccc} 1 & -2 & 3 \\ -1 & 4 & -6 \\ 3 & 2 & 6 \end{array}\right)\left(\begin{array}{l} x \\ y \\ z \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} 2 \\ -2 \\ 9 \end{array}\right) \] Tugas kita adalah mencari nilai \( x, y \), dan \( z \) yang memenuhi persamaan ini. Untuk melakukan ini, kita dapat menggunakan metode eliminasi Gauss atau metode invers matriks. Dalam artikel ini, kita akan menggunakan metode eliminasi Gauss. Metode eliminasi Gauss melibatkan langkah-langkah berikut: 1. Menyusun matriks augmented dari persamaan matriks. 2. Menggunakan operasi baris elementer untuk mengubah matriks augmented menjadi bentuk eselon baris tereduksi. 3. Mencari solusi dari persamaan matriks yang tereduksi. Mari kita terapkan metode eliminasi Gauss pada persamaan matriks ini: Langkah 1: Menyusun matriks augmented Matriks augmented dari persamaan matriks ini adalah: \[ \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & -2 & 3 & 2 \\ -1 & 4 & -6 & -2 \\ 3 & 2 & 6 & 9 \end{array}\right) \] Langkah 2: Mengubah matriks augmented menjadi bentuk eselon baris tereduksi Dengan menggunakan operasi baris elementer, kita dapat mengubah matriks augmented menjadi bentuk eselon baris tereduksi. Setelah melakukan operasi baris elementer, kita mendapatkan matriks berikut: \[ \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & -2 & 3 & 2 \\ 0 & 2 & -3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right) \] Langkah 3: Mencari solusi dari persamaan matriks yang tereduksi Dari matriks tereduksi ini, kita dapat melihat bahwa terdapat satu variabel bebas, yaitu \( z \). Kita dapat mengekspresikan \( x \) dan \( y \) dalam hal \( z \). Dalam hal ini, kita dapat mengekspresikan \( x \) dan \( y \) sebagai berikut: \[ x = 2 + 2z \] \[ y = -\frac{3}{2}z \] Dengan demikian, kita telah menemukan solusi dari persamaan matriks ini. Solusi ini dapat ditulis dalam bentuk himpunan sebagai berikut: \[ \{(2 + 2z, -\frac{3}{2}z, z) | z \in \mathbb{R}\} \] Dalam konteks pertanyaan ini, kita diminta untuk mencari nilai \( x, y \), dan \( z \) yang memenuhi persamaan matriks. Dengan membandingkan solusi yang kita temukan dengan pilihan yang diberikan, kita dapat melihat bahwa pilihan yang benar adalah \( \{(2 ; 0,5 ;-1)\} \). Oleh karena itu, nilai \( x, y \), dan \( z \) adalah \( 2, 0.5, \) dan \( -1 \) secara berturut-turut. Dalam artikel ini, kita telah menggunakan metode eliminasi Gauss untuk mencari solusi dari persamaan matriks. Metode ini adalah salah satu metode yang umum digunakan dalam matematika untuk menyelesaikan sistem persamaan linear. Dengan memahami metode ini, kita dapat dengan mudah mencari solusi dari persamaan matriks yang kompleks.