Penyelesaian Persamaan Kuadrat dengan Metode Substitusi

Dalam matematika, persamaan kuadrat adalah persamaan yang memiliki bentuk umum $ax^2 + bx + c = 0$, di mana $a$, $b$, dan $c$ adalah konstanta dan $x$ adalah variabel. Salah satu metode yang dapat digunakan untuk menyelesaikan persamaan kuadrat adalah metode substitusi. Metode substitusi melibatkan penggantian variabel dengan ekspresi baru untuk mengurangi kompleksitas persamaan. Dalam kasus ini, kita akan menggunakan metode substitusi untuk menyelesaikan persamaan kuadrat dengan persamaan a + b = 3 dan $a^2 + b^2 = 15$. Langkah pertama dalam metode substitusi adalah menggantikan salah satu variabel dengan ekspresi yang melibatkan variabel lainnya. Dalam hal ini, kita dapat menggantikan $b$ dengan $3 - a$ dalam persamaan $a^2 + b^2 = 15$. Setelah substitusi ini dilakukan, kita akan memiliki persamaan kuadrat tunggal dalam satu variabel, yaitu $a^2 + (3 - a)^2 = 15$. Langkah selanjutnya adalah menyederhanakan persamaan kuadrat ini. Dengan mengalikan dan mengkuadratkan ekspresi dalam tanda kurung, kita dapat mengubah persamaan menjadi $a^2 + 9 - 6a + a^2 = 15$. Menggabungkan suku-suku yang serupa, kita dapat menyederhanakan persamaan menjadi $2a^2 - 6a + 9 = 15$. Persamaan ini dapat disederhanakan lebih lanjut dengan mengurangi 15 dari kedua sisi persamaan, sehingga kita mendapatkan $2a^2 - 6a - 6 = 0$. Sekarang kita memiliki persamaan kuadrat tunggal yang dapat diselesaikan dengan menggunakan metode faktorisasi, metode kuadrat sempurna, atau menggunakan rumus kuadrat. Dalam hal ini, kita akan menggunakan rumus kuadrat untuk menyelesaikan persamaan. Rumus kuadrat adalah $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$. Dalam persamaan kita, $a = 2$, $b = -6$, dan $c = -6$. Menggantikan nilai-nilai ini ke dalam rumus kuadrat, kita dapat menghitung nilai-nilai $a$ yang memenuhi persamaan. Setelah menghitung, kita mendapatkan dua solusi untuk persamaan ini, yaitu $a = -1$ dan $a = 3$. Dengan menggunakan persamaan a + b = 3, kita dapat menghitung nilai $b$ yang sesuai dengan setiap nilai $a$. Jadi, solusi untuk persamaan ini adalah a = -1, b = 4 dan a = 3, b = 0. Dengan demikian, jawaban yang benar untuk pertanyaan ini adalah D. 4.