Menghitung Nilai \( \tan \frac{1}{2} A \) dengan Mengetahui \( \sin A \)

Dalam matematika, terdapat hubungan trigonometri antara sudut-sudut dalam segitiga. Salah satu hubungan tersebut adalah hubungan antara \( \sin \) dan \( \tan \) dari setengah sudut. Dalam artikel ini, kita akan membahas bagaimana menghitung nilai \( \tan \frac{1}{2} A \) dengan mengetahui nilai \( \sin A \). Pertama, mari kita tinjau informasi yang diberikan dalam soal. Diketahui bahwa \( \sin A = \frac{3}{8} \) dan sudut \( A \) berada di kuadran I. Kita akan menggunakan informasi ini untuk mencari nilai \( \tan \frac{1}{2} A \). Pertama-tama, kita perlu mengetahui hubungan antara \( \sin \) dan \( \tan \) dari setengah sudut. Hubungan ini diberikan oleh rumus: \[ \tan \frac{1}{2} A = \frac{\sin A}{1+\cos A} \] Namun, dalam kasus ini, kita hanya diberikan informasi tentang \( \sin A \), bukan \( \cos A \). Oleh karena itu, kita perlu mencari nilai \( \cos A \) terlebih dahulu. Karena sudut \( A \) berada di kuadran I, kita tahu bahwa \( \cos A \) adalah positif. Kita dapat menggunakan identitas trigonometri \( \sin^2 A + \cos^2 A = 1 \) untuk mencari nilai \( \cos A \): \[ \cos A = \sqrt{1 - \sin^2 A} \] Substitusikan nilai \( \sin A = \frac{3}{8} \) ke dalam rumus di atas: \[ \cos A = \sqrt{1 - \left(\frac{3}{8}\right)^2} \] \[ \cos A = \sqrt{1 - \frac{9}{64}} \] \[ \cos A = \sqrt{\frac{64}{64} - \frac{9}{64}} \] \[ \cos A = \sqrt{\frac{55}{64}} \] \[ \cos A = \frac{\sqrt{55}}{8} \] Sekarang kita memiliki nilai \( \cos A \), kita dapat menggunakan rumus \( \tan \frac{1}{2} A = \frac{\sin A}{1+\cos A} \) untuk mencari nilai \( \tan \frac{1}{2} A \): \[ \tan \frac{1}{2} A = \frac{\frac{3}{8}}{1+\frac{\sqrt{55}}{8}} \] \[ \tan \frac{1}{2} A = \frac{3}{8} \cdot \frac{8}{8+\sqrt{55}} \] \[ \tan \frac{1}{2} A = \frac{3}{8+\sqrt{55}} \] Jadi, nilai \( \tan \frac{1}{2} A \) dengan mengetahui \( \sin A = \frac{3}{8} \) adalah \( \frac{\sqrt{55}-3}{56} \).