Turunan Fungsi \( f(x)=\frac{2 x^{2}-1}{x^{2}} \)

Dalam matematika, turunan fungsi adalah konsep yang penting dalam kalkulus. Turunan menggambarkan perubahan suatu fungsi pada titik tertentu. Dalam artikel ini, kita akan membahas turunan dari fungsi \( f(x)=\frac{2 x^{2}-1}{x^{2}} \) dan bagaimana menghitungnya. Pertama-tama, mari kita lihat fungsi \( f(x) \) yang diberikan. Fungsi ini adalah fungsi rasional, yang berarti terdiri dari pecahan polinomial. Pecahan polinomial memiliki pembilang dan penyebut yang merupakan polinomial. Dalam kasus ini, pembilang adalah \( 2 x^{2}-1 \) dan penyebutnya adalah \( x^{2} \). Untuk menghitung turunan dari fungsi ini, kita akan menggunakan aturan turunan. Aturan turunan untuk pecahan polinomial adalah sebagai berikut: jika \( f(x)=\frac{g(x)}{h(x)} \), maka turunan \( f'(x) \) dapat dihitung dengan rumus \( f'(x)=\frac{g'(x)h(x)-g(x)h'(x)}{(h(x))^2} \). Mari kita terapkan rumus ini pada fungsi \( f(x) \) yang diberikan. Pertama, kita perlu menghitung turunan dari pembilang dan penyebut. Turunan dari \( 2 x^{2}-1 \) adalah \( 4x \) dan turunan dari \( x^{2} \) adalah \( 2x \). Sekarang, kita dapat mengganti nilai-nilai ini ke dalam rumus turunan. Dengan mengganti \( g(x) \) dengan \( 2 x^{2}-1 \), \( g'(x) \) dengan \( 4x \), \( h(x) \) dengan \( x^{2} \), dan \( h'(x) \) dengan \( 2x \), kita dapat menghitung turunan \( f'(x) \) sebagai berikut: \[ f'(x)=\frac{(4x)(x^{2})-(2 x^{2}-1)(2x)}{(x^{2})^2} \] Sekarang, kita dapat menyederhanakan ekspresi ini. Dengan mengalikan dan mengurangi suku-suku, kita dapat menyederhanakan menjadi: \[ f'(x)=\frac{4x^{3}-4x^{2}-4x}{x^{4}} \] Inilah turunan dari fungsi \( f(x)=\frac{2 x^{2}-1}{x^{2}} \). Turunan ini memberikan kita informasi tentang perubahan fungsi \( f(x) \) pada setiap titik. Misalnya, jika kita ingin mengetahui kecepatan perubahan fungsi ini pada titik \( x=2 \), kita dapat mengganti \( x \) dengan \( 2 \) dalam turunan ini dan menghitung nilainya. Dalam artikel ini, kita telah membahas turunan dari fungsi \( f(x)=\frac{2 x^{2}-1}{x^{2}} \) dan bagaimana menghitungnya menggunakan aturan turunan. Turunan memberikan kita informasi tentang perubahan fungsi pada setiap titik. Dengan memahami konsep ini, kita dapat menerapkan turunan pada berbagai fungsi dan memahami lebih dalam tentang perilaku fungsi tersebut.