Menentukan Interval Monoton Turun dari Fungsi $f(x)=sin(x)-cos(x)$

Untuk menemukan interval di mana fungsi $f(x)=sin(x)-cos(x)$ monoton turun, kita dapat menggunakan turunan pertama fungsi tersebut. Dengan mencari kapan turunan pertama fungsi ini negatif, kita dapat menentukan interval monoton turun dari fungsi tersebut. Turunan pertama dari fungsi $f(x)=sin(x)-cos(x)$ adalah $f'(x)=cos(x)+sin(x)$. Kita ingin mencari kapan turunan pertama ini negatif. Untuk mencari kapan turunan pertama negatif, kita dapat mencari titik-titik di mana turunan pertama nol, yaitu ketika $cos(x)+sin(x)=0$. Kita dapat menyelesaikan persamaan ini dengan mengubahnya menjadi persamaan trigonometri yang setara. Dengan menggunakan identitas trigonometri $sin(x)=cos(\frac{\pi}{2}-x)$, kita dapat mengubah persamaan menjadi $cos(x)+cos(\frac{\pi}{2}-x)=0$. Kita dapat menggabungkan kedua suku menggunakan identitas trigonometri $cos(a)+cos(b)=2cos(\frac{a+b}{2})cos(\frac{a-b}{2})$. Menggunakan identitas ini, persamaan menjadi $2cos(\frac{\pi}{4})cos(x-\frac{\pi}{4})=0$. Kita dapat mencari kapan $cos(x-\frac{\pi}{4})=0$, yaitu ketika $x-\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{2}+k\pi$, dengan $k$ adalah bilangan bulat. Kita dapat menyelesaikan persamaan ini untuk $x$, yaitu $x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi}{2}+k\pi$. Kita dapat menyederhanakan persamaan ini menjadi $x=\frac{\pi}{4}(1+2k+4)$. Dalam interval ini, kita dapat melihat bahwa $f'(x)=cos(x)+sin(x)<0$, sehingga fungsi $f(x)=sin(x)-cos(x)$ monoton turun dalam interval $\frac{\pi}{4}\lt x\lt \frac{5\pi}{4}$. Dengan demikian, kita telah menentukan interval monoton turun dari fungsi $f(x)=sin(x)-cos(x)$ adalah $\frac{\pi}{4}\lt x\lt \frac{5\pi}{4}$.