Analisis Persamaan Linear dalam Sistem Persamaan

Sistem persamaan linear adalah alat penting dalam matematika yang digunakan untuk memodelkan hubungan antara variabel-variabel yang saling terkait. Dalam artikel ini, kita akan menganalisis sistem persamaan linear yang diberikan dan mencari solusinya. Dalam sistem persamaan yang diberikan, terdapat tiga persamaan dengan tiga variabel: P, Q, dan r. Tujuan kita adalah mencari nilai-nilai dari variabel-variabel ini yang memenuhi semua persamaan secara bersamaan. Mari kita mulai dengan menganalisis persamaan pertama: \(P + 2Q + 4r = Q\). Dalam persamaan ini, kita dapat menggabungkan variabel-variabel yang sama untuk mendapatkan \(P + Q + 4r = 0\). Dengan demikian, kita telah mengubah persamaan pertama menjadi bentuk yang lebih sederhana. Selanjutnya, kita akan menganalisis persamaan kedua: \(-P + 4Q + 12r = 0\). Dalam persamaan ini, kita dapat menggabungkan variabel-variabel yang sama untuk mendapatkan \(-P + 3Q + 12r = 0\). Dengan demikian, kita telah mengubah persamaan kedua menjadi bentuk yang lebih sederhana. Terakhir, kita akan menganalisis persamaan ketiga: \(2P + 8Q + 4r = -10\). Dalam persamaan ini, kita tidak dapat menggabungkan variabel-variabel yang sama. Oleh karena itu, persamaan ini tetap dalam bentuk aslinya. Sekarang, kita memiliki sistem persamaan linear yang lebih sederhana: \(P + Q + 4r = 0\) \(-P + 3Q + 12r = 0\) \(2P + 8Q + 4r = -10\) Untuk mencari solusi dari sistem persamaan ini, kita dapat menggunakan metode eliminasi atau substitusi. Namun, untuk keperluan artikel ini, kita akan menggunakan metode substitusi. Mari kita mulai dengan mengisolasi salah satu variabel dalam salah satu persamaan. Misalnya, kita akan mengisolasi P dalam persamaan pertama: \(P = -Q - 4r\). Selanjutnya, kita akan substitusikan nilai P yang baru kita temukan ke dalam persamaan kedua dan ketiga. Setelah melakukan substitusi, kita akan mendapatkan dua persamaan baru: \(-(-Q - 4r) + 3Q + 12r = 0\) \(2(-Q - 4r) + 8Q + 4r = -10\) Setelah melakukan perhitungan, kita akan mendapatkan: \(Q + 4r + 3Q + 12r = 0\) \(-2Q - 8r + 8Q + 4r = -10\) Dengan menyederhanakan persamaan-persamaan ini, kita akan mendapatkan: \(4Q + 16r = 0\) \(6Q - 4r = -10\) Sekarang, kita memiliki sistem persamaan linear baru: \(4Q + 16r = 0\) \(6Q - 4r = -10\) Untuk mencari solusi dari sistem persamaan ini, kita dapat menggunakan metode eliminasi atau substitusi. Namun, untuk keperluan artikel ini, kita akan menggunakan metode eliminasi. Mari kita mulai dengan mengalikan persamaan pertama dengan 3 dan persamaan kedua dengan 2. Setelah melakukan perhitungan, kita akan mendapatkan: \(12Q + 48r = 0\) \(12Q - 8r = -20\) Selanjutnya, kita akan mengurangkan persamaan kedua dari persamaan pertama. Setelah melakukan perhitungan, kita akan mendapatkan: \(56r = 20\) Dengan membagi kedua sisi persamaan dengan 56, kita akan mendapatkan: \(r = \frac{20}{56}\) Sekarang, kita telah menemukan nilai r yang memenuhi persamaan-persamaan dalam sistem. Untuk mencari nilai-nilai P dan Q yang sesuai, kita dapat substitusikan nilai r yang baru kita temukan ke dalam salah satu persamaan dalam sistem. Mis