Representasi \( \mathrm{z}=5\left(\cos 225^{\circ}+\mathrm{j} \sin 225^{\circ}\right) \) dalam bentuk \( \mathrm{a}+\mathrm{jb} \)

Dalam matematika, terdapat berbagai cara untuk merepresentasikan bilangan kompleks. Salah satu bentuk yang umum digunakan adalah bentuk \( \mathrm{a}+\mathrm{jb} \), di mana \( \mathrm{a} \) dan \( \mathrm{b} \) adalah bilangan real. Dalam artikel ini, kita akan membahas cara merepresentasikan bilangan kompleks \( \mathrm{z}=5\left(\cos 225^{\circ}+\mathrm{j} \sin 225^{\circ}\right) \) dalam bentuk \( \mathrm{a}+\mathrm{jb} \). Pertama-tama, mari kita dekomposisi bilangan kompleks \( \mathrm{z} \) menjadi bagian real dan imajiner. Dalam bentuk polar, kita dapat menulis \( \mathrm{z} \) sebagai \( \mathrm{z}=5\left(\cos 225^{\circ}+\mathrm{j} \sin 225^{\circ}\right) \). Dalam bentuk ini, \( 5 \) adalah modulus dari \( \mathrm{z} \), sedangkan \( \cos 225^{\circ} \) dan \( \sin 225^{\circ} \) adalah bagian real dan imajiner dari \( \mathrm{z} \) secara berturut-turut. Untuk merepresentasikan \( \mathrm{z} \) dalam bentuk \( \mathrm{a}+\mathrm{jb} \), kita perlu mengubah bentuk polar menjadi bentuk kartesian. Untuk melakukan ini, kita dapat menggunakan rumus Euler, yang menyatakan bahwa \( \cos \theta+\mathrm{j} \sin \theta=\mathrm{e}^{\mathrm{j} \theta} \), di mana \( \theta \) adalah sudut dalam radian. Dalam kasus ini, kita memiliki \( \cos 225^{\circ}+\mathrm{j} \sin 225^{\circ}=\mathrm{e}^{\mathrm{j} \cdot 225^{\circ}} \). Menggunakan rumus Euler, kita dapat menulis \( \mathrm{e}^{\mathrm{j} \cdot 225^{\circ}} \) sebagai \( \mathrm{e}^{\mathrm{j} \cdot \left(\frac{5 \pi}{4}\right)} \), karena \( 225^{\circ} \) sama dengan \( \frac{5 \pi}{4} \) dalam radian. Kemudian, kita dapat menulis \( \mathrm{z} \) dalam bentuk kartesian sebagai \( \mathrm{z}=5 \cdot \mathrm{e}^{\mathrm{j} \cdot \left(\frac{5 \pi}{4}\right)} \). Dalam bentuk ini, \( 5 \) adalah modulus dari \( \mathrm{z} \), sedangkan \( \mathrm{e}^{\mathrm{j} \cdot \left(\frac{5 \pi}{4}\right)} \) adalah bagian kompleks dari \( \mathrm{z} \). Untuk mengubah \( \mathrm{e}^{\mathrm{j} \cdot \left(\frac{5 \pi}{4}\right)} \) menjadi bentuk \( \mathrm{a}+\mathrm{jb} \), kita perlu menggunakan rumus Euler lagi. Rumus Euler menyatakan bahwa \( \mathrm{e}^{\mathrm{j} \cdot \theta}=\cos \theta+\mathrm{j} \sin \theta \). Dalam kasus ini, kita memiliki \( \mathrm{e}^{\mathrm{j} \cdot \left(\frac{5 \pi}{4}\right)}=\cos \left(\frac{5 \pi}{4}\right)+\mathrm{j} \sin \left(\frac{5 \pi}{4}\right) \). Menggunakan rumus ini, kita dapat menulis \( \mathrm{z} \) dalam bentuk \( \mathrm{a}+\mathrm{jb} \) sebagai \( \mathrm{z}=5 \cdot \left(\cos \left(\frac{5 \pi}{4}\right)+\mathrm{j} \sin \left(\frac{5 \pi}{4}\right)\right) \). Dengan demikian, kita telah berhasil merepresentasikan bilangan kompleks \( \mathrm{z}=5\left(\cos 225^{\circ}+\mathrm{j} \sin 225^{\circ}\right) \) dalam bentuk \( \mathrm{a}+\mathrm{jb} \) sebagai \( \mathrm{z}=5 \cdot \left(\cos \left(\frac{5 \pi}{4}\right)+\mathrm{j} \sin \left(\frac{5 \pi}{4}\right)\right) \). Dalam kesimpulan, kita telah membahas cara merepresentasikan bilangan kompleks \( \mathrm{z}=5\left(\cos 225^{\circ}+\mathrm{j} \sin 225^{\circ}\right) \) dalam bentuk \( \mathrm{a}+\mathrm{jb} \). Dengan menggunakan rumus Euler, kita dapat mengubah bentuk polar menjadi bentuk kartesian dan mendapatkan \( \mathrm{z}=5 \cdot \left(\cos \left(\frac{5 \pi}{4}\right)+\mathrm{j} \sin \left(\frac{5 \pi}{4}\right)\right) \).