Menganalisis Batas Fungsi \( \lim _{x \rightarrow 5} \frac{x-5}{\sqrt{x^{2}-25}} \)

Dalam matematika, batas fungsi adalah konsep yang penting untuk memahami perilaku suatu fungsi saat variabel mendekati suatu nilai tertentu. Dalam artikel ini, kita akan menganalisis batas fungsi \( \lim _{x \rightarrow 5} \frac{x-5}{\sqrt{x^{2}-25}} \) dan melihat bagaimana kita dapat menentukan nilai batasnya. Pertama-tama, mari kita perhatikan fungsi di dalam limit tersebut. Fungsi ini memiliki bentuk pecahan dengan pembilang \( x-5 \) dan penyebut \( \sqrt{x^{2}-25} \). Kita ingin mengetahui nilai batas fungsi ini saat \( x \) mendekati 5. Untuk menentukan nilai batas, kita dapat menggunakan beberapa metode, salah satunya adalah metode substitusi langsung. Dalam metode ini, kita menggantikan \( x \) dengan nilai yang mendekati 5 dan melihat nilai fungsi yang dihasilkan. Namun, sebelum kita melanjutkan, penting untuk memeriksa apakah fungsi ini terdefinisi dengan baik di sekitar titik \( x = 5 \). Karena kita memiliki akar kuadrat di penyebut, kita perlu memastikan bahwa nilai di bawah akar tidak negatif. Dalam kasus ini, kita harus memeriksa apakah \( x^{2}-25 \geq 0 \). Jika kita memecahkan ketidaksetaraan ini, kita akan mendapatkan \( x \geq 5 \) atau \( x \leq -5 \). Dalam konteks batas ini, kita hanya tertarik pada nilai \( x \) yang mendekati 5 dari sisi positif, sehingga kita dapat mengabaikan solusi \( x \leq -5 \). Sekarang, kita dapat melanjutkan dengan metode substitusi langsung. Gantikan \( x \) dengan nilai yang mendekati 5, misalnya 4.9 dan 5.1, dan hitung nilai fungsi yang dihasilkan. Ketika \( x = 4.9 \), kita memiliki \( \frac{4.9-5}{\sqrt{4.9^{2}-25}} \). Jika kita melakukan perhitungan ini, kita akan mendapatkan nilai yang mendekati -0.447. Ketika \( x = 5.1 \), kita memiliki \( \frac{5.1-5}{\sqrt{5.1^{2}-25}} \). Jika kita melakukan perhitungan ini, kita akan mendapatkan nilai yang mendekati 0.447. Dari hasil perhitungan ini, kita dapat melihat bahwa saat \( x \) mendekati 5, nilai fungsi mendekati 0. Namun, kita perlu memastikan bahwa ini adalah nilai batas yang sebenarnya. Untuk memastikan ini, kita dapat menggunakan metode lain yang disebut metode faktorisasi. Dalam metode ini, kita mencoba untuk menyederhanakan fungsi sehingga kita dapat menghilangkan nilai yang tidak terdefinisi di sekitar titik \( x = 5 \). Dalam kasus ini, kita dapat memfaktorkan penyebut menjadi \( \sqrt{(x-5)(x+5)} \). Dengan melakukan ini, kita dapat melihat bahwa \( \sqrt{(x-5)(x+5)} \) dapat disederhanakan menjadi \( \sqrt{(x-5)^{2}} \), yang pada gilirannya menjadi \( x-5 \). Dengan memfaktorkan penyebut ini, kita dapat menyederhanakan fungsi menjadi \( \frac{x-5}{x-5} \). Dalam kasus ini, kita dapat melihat bahwa penyebut dan pembilang sama, dan kita dapat membatalkan mereka. Dengan membatalkan penyebut dan pembilang, kita mendapatkan fungsi yang sederhana, yaitu 1. Ini menunjukkan bahwa saat \( x \) mendekati 5, nilai fungsi mendekati 1. Dalam kesimpulan, kita telah menganalisis batas fungsi \( \lim _{x \rightarrow 5} \frac{x-5}{\sqrt{x^{2}-25}} \) dan menemukan bahwa nilai batasnya adalah 1. D