Mencari Nilai \( m \) yang Memenuhi Persamaan \( (m-3) x^{2}-4 x+m=0 \)

Persamaan \( (m-3) x^{2}-4 x+m=0 \) memiliki akar-akar real. Kita perlu mencari nilai \( m \) yang memenuhi persamaan ini. Untuk mencari nilai \( m \), kita dapat menggunakan diskriminan persamaan kuadrat. Diskriminan \( D \) diberikan oleh rumus \( D = b^{2}-4 a c \), di mana \( a \), \( b \), dan \( c \) adalah koefisien persamaan kuadrat. Dalam persamaan kita, \( a = m-3 \), \( b = -4 \), dan \( c = m \). Substitusikan nilai-nilai ini ke dalam rumus diskriminan: \( D = (-4)^{2}-4 (m-3) m \) \( D = 16-4 (m^{2}-3 m) \) \( D = 16-4 m^{2}+12 m \) \( D = -4 m^{2}+12 m+16 \) Karena persamaan memiliki akar-akar real, diskriminan harus lebih besar dari atau sama dengan nol. Oleh karena itu, kita dapat menyelesaikan ketidaksetaraan berikut: \( -4 m^{2}+12 m+16 \geq 0 \) Untuk menyelesaikan ketidaksetaraan ini, kita dapat mencari titik-titik kritisnya dengan mengatur persamaan sama dengan nol: \( -4 m^{2}+12 m+16 = 0 \) Kita dapat memfaktorkan persamaan ini menjadi: \( -4 (m-2) (m+2) = 0 \) Dari sini, kita dapat melihat bahwa titik kritisnya adalah \( m = 2 \) dan \( m = -2 \). Kita dapat menggunakan tes titik untuk menentukan apakah ketidaksetaraan ini positif atau negatif di antara titik-titik kritis. Kita dapat memilih nilai uji di antara titik-titik kritis, misalnya \( m = 0 \): \( -4 (0-2) (0+2) = -4 (-2) (2) = 16 \) Karena hasilnya positif, kita tahu bahwa ketidaksetaraan ini positif di antara titik-titik kritis. Jadi, nilai \( m \) yang memenuhi persamaan \( (m-3) x^{2}-4 x+m=0 \) adalah \( m \leq-2 \) atau \( m \geq 2 \). Dengan demikian, jawaban yang benar adalah D. \( m \leq-1 \) atau \( m \geq 4 \).