Menganalisis Batas Fungsi \( \operatorname{Lim}_{0} \frac{2 x^{2}-5 x}{3-\sqrt{9+x}} \)

Dalam matematika, batas fungsi adalah konsep yang penting dalam mempelajari perilaku fungsi saat variabel mendekati suatu nilai tertentu. Dalam artikel ini, kita akan menganalisis batas fungsi \( \operatorname{Lim}_{0} \frac{2 x^{2}-5 x}{3-\sqrt{9+x}} \) saat \( x \) mendekati 0. Pertama-tama, mari kita evaluasi fungsi ini secara langsung saat \( x \) mendekati 0. Substitusikan \( x = 0 \) ke dalam fungsi dan kita akan mendapatkan: \[ \frac{2(0)^{2}-5(0)}{3-\sqrt{9+0}} = \frac{0}{3-\sqrt{9}} = \frac{0}{3-3} = \frac{0}{0} \] Dalam matematika, pembagian dengan nol tidak terdefinisi. Oleh karena itu, kita tidak dapat menentukan nilai fungsi ini secara langsung saat \( x \) mendekati 0. Namun, kita dapat menggunakan teknik aljabar untuk menyederhanakan fungsi ini dan mencari tahu batasnya. Mari kita mulai dengan menyederhanakan fungsi tersebut. \[ \frac{2 x^{2}-5 x}{3-\sqrt{9+x}} = \frac{x(2x-5)}{3-\sqrt{9+x}} \] Ketika kita mendekati 0, kita dapat menghilangkan akar kuadrat dalam penyebut dengan mengalikan dan membagi dengan konjugatnya. \[ \frac{x(2x-5)}{3-\sqrt{9+x}} \cdot \frac{3+\sqrt{9+x}}{3+\sqrt{9+x}} = \frac{x(2x-5)(3+\sqrt{9+x})}{(3-\sqrt{9+x})(3+\sqrt{9+x})} \] Sekarang, kita dapat menyederhanakan fungsi ini dengan mengalikan faktor-faktor yang sesuai. \[ \frac{x(2x-5)(3+\sqrt{9+x})}{(3-\sqrt{9+x})(3+\sqrt{9+x})} = \frac{x(2x-5)(3+\sqrt{9+x})}{9-(\sqrt{9+x})^2} \] \[ = \frac{x(2x-5)(3+\sqrt{9+x})}{9-(9+x)} = \frac{x(2x-5)(3+\sqrt{9+x})}{-x} \] Sekarang, kita dapat membatalkan faktor \( x \) pada penyebut dan pembilang. \[ \frac{(2x-5)(3+\sqrt{9+x})}{-1} = -(2x-5)(3+\sqrt{9+x}) \] Sekarang, kita dapat mengevaluasi fungsi ini saat \( x \) mendekati 0. \[ -(2(0)-5)(3+\sqrt{9+0}) = -(0-5)(3+\sqrt{9}) = -(-5)(3+3) = -(-5)(6) = 30 \] Jadi, batas fungsi \( \operatorname{Lim}_{0} \frac{2 x^{2}-5 x}{3-\sqrt{9+x}} \) saat \( x \) mendekati 0 adalah 30. Dalam kesimpulan, kita telah menganalisis batas fungsi \( \operatorname{Lim}_{0} \frac{2 x^{2}-5 x}{3-\sqrt{9+x}} \) saat \( x \) mendekati 0. Meskipun nilai fungsi tidak dapat ditentukan secara langsung saat \( x \) mendekati 0, kita dapat menggunakan teknik aljabar untuk menyederhanakan fungsi dan menemukan batasnya. Dalam kasus ini, batas fungsi adalah 30.