Membuktikan Rumus Matematika \( 1+5+9+\ldots+(4 n-3)=2 n^{2}-n \)

Dalam matematika, sering kali kita dihadapkan dengan tugas untuk membuktikan rumus-rumus yang kompleks. Salah satu rumus yang menarik untuk dibuktikan adalah \( 1+5+9+\ldots+(4 n-3)=2 n^{2}-n \). Dalam artikel ini, kita akan menjelajahi langkah-langkah untuk membuktikan rumus ini dengan menggunakan metode induksi matematika. Metode induksi matematika adalah teknik yang digunakan untuk membuktikan kebenaran pernyataan matematika yang berlaku untuk semua bilangan bulat positif. Dalam kasus ini, kita akan menggunakan metode induksi matematika untuk membuktikan rumus \( 1+5+9+\ldots+(4 n-3)=2 n^{2}-n \). Langkah pertama dalam metode induksi matematika adalah membuktikan pernyataan basis. Pernyataan basis adalah pernyataan yang harus terbukti benar untuk bilangan bulat terkecil yang relevan. Dalam kasus ini, kita akan membuktikan bahwa rumus ini benar untuk \( n = 1 \). Ketika \( n = 1 \), rumus menjadi \( 1 = 2(1)^2 - 1 \), yang dapat disederhanakan menjadi \( 1 = 1 \). Karena pernyataan ini benar, kita dapat melanjutkan ke langkah berikutnya. Langkah kedua dalam metode induksi matematika adalah mengasumsikan bahwa pernyataan benar untuk \( n = k \), di mana \( k \) adalah bilangan bulat positif yang kita anggap benar. Dalam kasus ini, kita akan mengasumsikan bahwa rumus \( 1+5+9+\ldots+(4 k-3)=2 k^{2}-k \) benar. Langkah ketiga adalah membuktikan bahwa pernyataan juga benar untuk \( n = k + 1 \). Dalam kasus ini, kita akan membuktikan bahwa rumus \( 1+5+9+\ldots+(4 (k+1)-3)=2 (k+1)^{2}-(k+1) \) benar. Ketika \( n = k + 1 \), rumus menjadi \( 1+5+9+\ldots+(4 k-3)+(4 (k+1)-3)=2 (k+1)^{2}-(k+1) \). Kita dapat menyederhanakan rumus ini dengan menggunakan asumsi kita sebelumnya, yaitu \( 1+5+9+\ldots+(4 k-3)=2 k^{2}-k \). Dengan menggunakan asumsi kita, rumus menjadi \( 2 k^{2}-k+(4 (k+1)-3)=2 (k+1)^{2}-(k+1) \). Kita dapat menyederhanakan rumus ini menjadi \( 2 k^{2}-k+4 k+1=2 k^{2}+4 k+2-k-1 \). Setelah menyederhanakan rumus ini, kita dapat melihat bahwa kedua sisi rumus sama. Oleh karena itu, rumus \( 1+5+9+\ldots+(4 n-3)=2 n^{2}-n \) terbukti benar untuk \( n = k + 1 \). Dengan demikian, kita telah membuktikan rumus \( 1+5+9+\ldots+(4 n-3)=2 n^{2}-n \) menggunakan metode induksi matematika. Rumus ini dapat digunakan untuk menghitung jumlah deret aritmatika dengan pola \( 1, 5, 9, \ldots, (4 n-3) \).