Menentukan Determinan $(AB)^{-1}$ dari Matriks A dan B

Dalam matematika, matriks adalah kumpulan bilangan yang disusun dalam bentuk persegi panjang. Matriks sering digunakan dalam berbagai aplikasi, termasuk aljabar linier. Salah satu operasi yang sering dilakukan pada matriks adalah perkalian matriks. Dalam artikel ini, kita akan membahas bagaimana menentukan determinan $(AB)^{-1}$ dari dua matriks A dan B. Matriks A dan B diberikan sebagai berikut: $A=[\begin{matrix} 2&5\\ 1&3\end{matrix} ]$ dan $B=[\begin{matrix} 5&4\\ 1&1\end{matrix} ]$ Langkah pertama dalam menentukan determinan $(AB)^{-1}$ adalah dengan mengalikan matriks A dan B. Untuk mengalikan dua matriks, kita mengalikan setiap elemen baris pertama matriks A dengan setiap elemen kolom pertama matriks B, kemudian menjumlahkan hasilnya. Misalnya, untuk mendapatkan elemen pertama dari matriks hasil perkalian AB, kita mengalikan 2 dengan 5 dan 5 dengan 1, kemudian menjumlahkan hasilnya. Hasilnya adalah 15. Setelah mengalikan matriks A dan B, kita mendapatkan matriks hasil perkalian AB sebagai berikut: $AB=[\begin{matrix} 15&13\\ 8&7\end{matrix} ]$ Langkah selanjutnya adalah menentukan determinan dari matriks hasil perkalian AB. Determinan adalah bilangan yang terkait dengan matriks dan memiliki beberapa sifat matematis yang berguna. Untuk menentukan determinan dari matriks 2x2, kita menggunakan rumus berikut: $det(AB) = (a*d) - (b*c)$ Dalam kasus ini, a adalah elemen pertama dari matriks hasil perkalian AB (15), b adalah elemen kedua (13), c adalah elemen ketiga (8), dan d adalah elemen keempat (7). Menggantikan nilai-nilai ini ke dalam rumus, kita dapat menghitung determinan dari matriks hasil perkalian AB: $det(AB) = (15*7) - (13*8) = 105 - 104 = 1$ Setelah menentukan determinan dari matriks hasil perkalian AB, langkah terakhir adalah menghitung $(AB)^{-1}$. Invers dari suatu matriks adalah matriks yang jika dikalikan dengan matriks aslinya akan menghasilkan matriks identitas. Untuk menghitung invers dari matriks, kita menggunakan rumus berikut: $(AB)^{-1} = \frac{1}{det(AB)} * adj(AB)$ Dalam kasus ini, determinan dari matriks hasil perkalian AB adalah 1. Oleh karena itu, kita perlu menghitung adjoint dari matriks hasil perkalian AB. Adjoint dari suatu matriks adalah matriks yang diperoleh dengan menukar elemen-elemen diagonal utama dengan elemen-elemen diagonal sekunder dan mengubah tanda elemen-elemen di luar diagonal. Menggunakan rumus ini, kita dapat menghitung adjoint dari matriks hasil perkalian AB: $adj(AB) = [\begin{matrix} 7&-8\\ -13&15\end{matrix} ]$ Setelah menghitung adjoint dari matriks hasil perkalian AB, kita dapat menghitung $(AB)^{-1}$ dengan mengalikan adjoint dengan $\frac{1}{det(AB)}$. Menggantikan nilai-nilai ini ke dalam rumus, kita dapat menghitung $(AB)^{-1}$: $(AB)^{-1} = \frac{1}{1} * [\begin{matrix} 7&-8\\ -13&15\end{matrix} ] = [\begin{matrix} 7&-8\\ -13&15\end{matrix} ]$ Jadi, determinan $(AB)^{-1}$ dari matriks A dan B adalah $[\begin{matrix} 7&-8\\ -13&15\end{matrix} ]$.