Menyelesaikan Ketidaksamaan Linear dan Kuadrat

Dalam artikel ini, kita akan mengeksplorasi cara menyelesaikan ketidaksamaan linear dan kuadrat. Kedua jenis ketidaksamaan ini sering muncul dalam matematika dan memiliki aplikasi penting dalam berbagai bidang, termasuk fisika, ekonomi, dan ilmu komputer. Mari kita mulai dengan ketidaksamaan linear. ### Ketidaksamaan Linear Ketidaksamaan linear adalah ketidaksamaan yang dapat ditulis dalam bentuk $ax + b \leq cx + d$ atau $ax + b \geq cx + d$, di mana $a$, $b$, $c$, dan $d$ adalah konstanta. Untuk menyelesaikan ketidaksamaan linear, kita perlu mengikuti langkah-langkah berikut: 1. Pindahkan semua variabel ke satu sisi ketidaksamaan: Misalnya, untuk ketidaksamaan $2a + 5 \leq 4a - 17$, kita pindahkan semua variabel $a$ ke satu sisi untuk mendapatkan $2a - 4a \leq -17 - 5$. 2. Gabungkan konstanta: Dalam contoh di atas, kita gabungkan konstanta untuk mendapatkan $-2a \leq -22$. 3. Bagi dengan koefisien variabel: Untuk menyelesaikan $a$, kita bagi kedua sisi dengan koefisien $a$, yaitu $-2$. Hasilnya adalah $a \geq 11$. ### Contoh 1: Menyelesaikan $2a + 5 \leq 4a - 17$ 1. Pindahkan variabel $a$ ke satu sisi: \[ 2a - 4a \leq -17 - 5 \] \[ -2a \leq -22 \] 2. Bagi dengan koefisien $a$: \[ a \geq 11 \] ### Ketidaksamaan Kuadrat Ketidaksamaan kuadrat adalah ketidaksamaan yang melibatkan variabel yang dikuadratkan, seperti $p^2 - 9 > 0$. Untuk menyelesaikan ketidaksamaan kuadrat, kita perlu mengikuti langkah-langkah berikut: 1. Faktorkan atau gunakan rumus kuadrat: Misalnya, untuk ketidaksamaan $p^2 - 9 > 0$, kita faktorkan menjadi $(p - 3)(p + 3) > 0$. 2. Temukan titik kritis: Titik kritis adalah nilai $p$ yang membuat ekspresi di dalam tanda kurung nol. Dalam contoh ini, titik kritisnya adalah $p = 3$ dan $p = -3$. 3. Uji interval: Pilih nilai dari setiap interval yang dibentuk oleh titik kritis dan uji apakah ketidaksamaan benar. Misalnya, kita uji nilai $p$ dari interval $(-\infty, -3)$, $(-3, 3)$, dan $(3, \infty)$. ### Contoh 2: Menyelesaikan $p^2 - 9 > 0$ 1. Faktorkan ketidaksamaan: \[ (p - 3)(p + 3) > 0 \] 2. Temukan titik kritis: \[ p = 3 \quad \text{dan} \quad p = -3 \] 3. Uji interval: - Untuk $p \in (-\infty, -3)$, pilih $p = -4$: \[ (-4 - 3)(-4 + 3) = (-7)(-1) = 7 > 0 \quad \text{(benar)} \] - Untuk $p \in (-3, 3)$, pilih $p = 0$: \[ (0 - 3)(0 + 3) = (-3)(3) = -9 < 0 \quad \text{(salah)} \] - Untuk $p \in (3, \infty)$, pilih $p = 4$: \[ (4 - 3)(4