Keberhasilan Matriks dalam Matematik

Matriks adalah salah satu konsep penting dalam matematika yang memiliki berbagai aplikasi dalam berbagai bidang. Dalam artikel ini, kita akan membahas beberapa pernyataan tentang matriks dan menguji kebenarannya. Pernyataan pertama yang akan kita bahas adalah $(A^{2})^{T}=A$. Pernyataan ini menyatakan bahwa hasil perkalian matriks $A$ dengan dirinya sendiri, kemudian di-transpose, akan sama dengan matriks $A$ itu sendiri. Untuk menguji kebenaran pernyataan ini, kita perlu menghitung $A^{2}$ terlebih dahulu. Dengan menggunakan aturan perkalian matriks, kita dapat menghitung $A^{2}$ sebagai berikut: $A^{2} = A \cdot A = \begin{bmatrix} 4 & 2 & 3 \\ 2 & 1 & 3 \\ 3 & 0 & 2 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 4 & 2 & 3 \\ 2 & 1 & 3 \\ 3 & 0 & 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 21 & 10 & 19 \\ 13 & 5 & 12 \\ 14 & 4 & 13 \end{bmatrix}$ Selanjutnya, kita akan menghitung $(A^{2})^{T}$: $(A^{2})^{T} = \begin{bmatrix} 21 & 10 & 19 \\ 13 & 5 & 12 \\ 14 & 4 & 13 \end{bmatrix}^{T} = \begin{bmatrix} 21 & 13 & 14 \\ 10 & 5 & 4 \\ 19 & 12 & 13 \end{bmatrix}$ Dari perhitungan di atas, kita dapat melihat bahwa $(A^{2})^{T}$ tidak sama dengan $A$. Oleh karena itu, pernyataan $(A^{2})^{T}=A$ tidak benar. Pernyataan kedua yang akan kita bahas adalah $(A+B)^{T}=A^{T}+B^{T}$. Pernyataan ini menyatakan bahwa hasil penjumlahan matriks $A$ dan $B$, kemudian di-transpose, akan sama dengan penjumlahan matriks $A^{T}$ dan $B^{T}$. Untuk menguji kebenaran pernyataan ini, kita perlu menghitung $(A+B)$ terlebih dahulu. Dengan menggunakan aturan penjumlahan matriks, kita dapat menghitung $(A+B)$ sebagai berikut: $(A+B) = \begin{bmatrix} 4 & 2 & 3 \\ 2 & 1 & 3 \\ 3 & 0 & 2 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 2 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 7 \\ 2 & -4 & 4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 6 & 4 & 4 \\ 3 & 2 & 10 \\ 5 & -4 & 6 \end{bmatrix}$ Selanjutnya, kita akan menghitung $(A+B)^{T}$: $(A+B)^{T} = \begin{bmatrix} 6 & 4 & 4 \\ 3 & 2 & 10 \\ 5 & -4 & 6 \end{bmatrix}^{T} = \begin{bmatrix} 6 & 3 & 5 \\ 4 & 2 & -4 \\ 4 & 10 & 6 \end{bmatrix}$ Selanjutnya, kita akan menghitung $A^{T}+B^{T}$: $A^{T}+B^{T} = \begin{bmatrix} 4 & 2 & 3 \\ 2 & 1 & 3 \\ 3 & 0 & 2 \end{bmatrix}^{T} + \begin{bmatrix} 2 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 7 \\ 2 & -4 & 4 \end{bmatrix}^{T} = \begin{bmatrix} 4 & 2 & 3 \\ 2 & 1 & 3 \\ 3 & 0 & 2 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 2 & 1 & 2 \\ 2 & 1 & -4 \\ 1 & 7 & 4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 6 & 3 & 5 \\ 4 & 2 & -1 \\ 4 & 7 & 6 \end{bmatrix}$ Dari perhitungan di atas, kita dapat melihat bahwa $(A+B)^{T}$ sama dengan $A^{T}+B^{T}$. Oleh karena itu, pernyataan $(A+B)^{T}=A^{T}+B^{T}$ benar. Pernyataan ketiga yang akan kita bahas adalah $(AC)^{T}=C^{T}A^{T}$. Pernyataan ini menyatakan bahwa hasil perkalian matriks $A$ dengan $C$, kemudian di-transpose, akan sama dengan perkalian matriks $C^{T}$ dengan $A^{T}$. Untuk menguji kebenaran pernyataan ini, kita perlu menghitung $AC$ terlebih dahulu. Dengan menggunakan aturan perkalian matriks, kita dapat menghitung $AC$ sebagai berikut: $AC = \begin{bmatrix} 4 & 2 & 3 \\ 2 & 1 & 3 \\ 3 & 0 & 2 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 8 & -3 & 2 \\ 5 & 1 & 5 \\ 4 & 5 & 4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 38 & 0 & 38 \\ 29 & -2 & 29 \\ 32 & -7 & 32 \end{bmatrix}$ Selanjutnya, kita akan menghitung $(AC)^{T}$: $(AC)^{T} = \begin{bmatrix} 38 & 0 & 38 \\ 29 & -2 & 29 \\ 32 & -7 & 32 \end{bmatrix}^{T} = \begin{bmatrix} 38 & 29 & 32 \\ 0 & -2 & -7 \\ 38 & 29 & 32 \end{bmatrix}$ Selanjutnya, kita akan menghitung $C^{T}A^{T}$: $C^{T}A^{T} = \begin{bmatrix} 8 & 5 & 4 \\ -3 & 1 & 5 \\ 2 & 5 & 4 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 4 & 2 & 3 \\ 2 & 1 & 3 \\ 3 & 0 & 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 38 & 29 & 32 \\ 0 & -2 & -7 \\ 38 & 29 & 32 \end{bmatrix}$ Dari perhitungan di atas, kita dapat melihat bahwa $(AC)^{T}$ sama dengan $C^{T}A^{T}$. Oleh karena itu, pernyataan $(AC)^{T}=C^{T}A^{T}$ benar. Pernyataan keempat yang akan kita bahas adalah $(aB)^{T}=aB^{T}$. Pernyataan ini menyatakan bahwa hasil perkalian skalar $a$ dengan matriks $B$, kemudian di-transpose, akan sama dengan perkalian skalar $a$ dengan matriks $B^{T}$. Untuk menguji kebenaran pernyataan ini, kita perlu menghitung $aB$ terlebih dahulu. Dengan menggunakan aturan perkalian skalar dengan matriks, kita dapat menghitung $aB$ sebagai berikut: $aB = 2 \cdot \begin{bmatrix} 2 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 7 \\ 2 & -4 & 4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4 & 4 & 2 \\ 2 & 2 & 14 \\ 4 & -8 & 8 \end{bmatrix}$ Selanjutnya, kita akan menghitung $(aB)^{T}$: $(aB)^{T} = \begin{bmatrix} 4 & 4 & 2 \\ 2 & 2 & 14 \\ 4 & -8 & 8 \end{bmatrix}^{T} = \begin{bmatrix} 4 & 2 & 4 \\ 4 & 2 & -8 \\ 2 & 14 & 8 \end{bmatrix}$ Selanjutnya, kita akan menghitung $aB^{T}$: $aB^{T} = 2 \cdot \begin{bmatrix} 2 & 1 & 2 \\ 2 & 1 & -4 \\ 1 & 7 & 4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4 & 2 & 4 \\ 4 & 2 & -8 \\ 2 & 14 & 8 \end{bmatrix}$ Dari perhitungan di atas, kita dapat melihat bahwa $(aB)^{T}$ sama dengan $aB^{T}$. Oleh karena itu, pernyataan $(aB)^{T}=aB^{T}$ benar. Pernyataan terakhir yang akan kita bahas adalah $(1C)$ adalah matriks simetri. Pernyataan ini menyatakan bahwa perkalian skalar 1 dengan matriks $C$ akan menghasilkan matriks simetri. Untuk menguji kebenaran pernyataan ini, kita perlu menghitung $1C$ terlebih dahulu. Dengan menggunakan aturan perkalian skalar dengan matriks, kita dapat menghitung $1C$ sebagai berikut: $1C = 1 \cdot \begin{bmatrix} 8 & -3 & 2 \\ 5 & 1 & 5 \\ 4 & 5 & 4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 8 & -3 & 2 \\ 5 & 1 & 5 \\ 4 & 5 & 4 \end{bmatrix}$ Dari perhitungan di atas, kita dapat melihat bahwa $1C$ sama dengan matriks $C$ itu sendiri. Namun, tidak semua elemen pada matriks $C$ simetris. Oleh karena itu, pernyataan $(1C)$ adalah matriks simetri tidak benar. Dalam artikel ini, kita telah membahas beberapa pernyataan tentang matriks dan menguji kebenarannya. Dari hasil pengujian, kita dapat menyimpulkan bahwa pernyataan $(A^{2})^{T}=A$ tidak benar, pernyataan $(A+B)^{T}=A^{T}+B^{T}$ benar, pernyataan $(AC)^{T}=C^{T}A^{T}$ benar, pernyataan $(aB)^{T}=aB^{T}$ benar, dan pernyataan $(1C)$ adalah matriks simetri tidak benar. Matriks memiliki peran penting dalam matematika dan memiliki banyak aplikasi dalam berbagai bidang.