Estimasi Probabilitas Kepuasan Spesifikasi Kepadatan Relatif dalam Pengujian Berikutny

Dalam tahap awal konstruksi bendungan tanah, dilakukan seratus pengujian kepadatan relatif. Hasil pengujian tersebut disajikan dalam bentuk angka yang memenuhi spesifikasi kepadatan relatif minimum dan kadar air kepadatan dalam tabel berikut. Tabel: Water Content | Acceptable | Not Acceptable ------------------------------------------- Acceptable | 80 | 10 Not Acceptable| 6 | 4 Diasumsikan bahwa kinerja kontraktor di masa depan akan sama dengan dalam seratus pengujian pertama dan bahwa material pengisi tidak berubah. Estimasikan probabilitas bahwa spesifikasi kepadatan relatif akan terpenuhi dalam pengujian berikutnya jika spesifikasi kadar air terpenuhi. Estimasikan probabilitas tersebut untuk kasus di mana spesifikasi kadar air tidak terpenuhi. Solusi: Tentukan dua peristiwa, \( R \) dan \( W \), seperti berikut: \( R \) = spesifikasi kepadatan relatif terpenuhi \( W \) = spesifikasi kadar air terpenuhi Dari tabel, probabilitas bahwa kedua spesifikasi kepadatan relatif dan kadar air terpenuhi dapat diestimasi sebagai \( P[W \cap R] = \frac{80}{100} \). Kemudian, probabilitas bahwa spesifikasi kepadatan relatif akan terpenuhi dalam pengujian berikutnya jika spesifikasi kadar air terpenuhi adalah probabilitas bersyarat \( P[R \mid W] \), yang dapat dihitung sebagai berikut: \( P[R \mid W] = \frac{P[W \cap R]}{P[W]} = \frac{\frac{80}{100}}{\frac{80}{100}+\frac{10}{100}} = \frac{80}{90} = 0.889 \) Probabilitas bahwa spesifikasi kepadatan relatif terpenuhi jika spesifikasi kadar air tidak terpenuhi dapat diestimasi sebagai \( P[R \mid \bar{W}] \), yaitu: \( P[R \mid \bar{W}] = \frac{P[\bar{W} \cap R]}{P[\bar{W}]} = \frac{\frac{6}{100}}{\frac{6}{100}+\frac{4}{100}} = \frac{6}{10} = 0.600 \) Untuk sejumlah peristiwa \( B_{1}, B_{2}, \ldots, B_{N} \) yang saling eksklusif \( (B_{i} \cap B_{j}=\phi) \) untuk semua \( i

eq j \) tetapi secara kolektif mencakup semua kemungkinan \( (B_{1} \cup B_{2} \cup \cdots \cup B_{N}=\Omega) \), seperti yang ditunjukkan dalam diagram Venn pada Gambar \( C_{3} \), probabilitas dari peristiwa lain \( A \) dapat dinyatakan sebagai berikut: \( P[A] = P[A \cap B_{1}] + P[A \cap B_{2}] + \cdots + P[A \cap B_{N}] \) Menggunakan persamaan (CS) untuk setiap suku di sisi kanan persamaan \( (C .8) \) menghasilkan: \( P[A] = P[A \mid B_{1}] P[B_{1}] + P[A \mid B_{2}] P[B_{2}] + \cdots + P[A \mid B_{N}] P[B_{N}] = \sum_{i=1}^{N} P[A \mid B_{1}] P[B_{i}] \) Ini dikenal sebagai teorema probabilitas total. Teorema probabilitas total menjadi dasar perhitungan probabilitas yang diperlukan untuk analisis bahaya seismik probabilistik (Bab 7).