Menghitung Turunan Fungsi Trigonometri Bentuk \( y=\cos ^{3}\left(x^{5}\right) \)

Dalam matematika, kita seringkali perlu menghitung turunan suatu fungsi untuk mempelajari perubahan-perubahan dalam fungsi tersebut. Salah satu bentuk fungsi trigonometri yang sering muncul adalah \( y=\cos ^{3}\left(x^{5}\right) \). Dalam artikel ini, kita akan mencari turunan fungsi ini dengan menggunakan aturan rantai. Mari kita mulai dengan menentukan turunan fungsi \( v=x^{5} \). Untuk menghitung turunan ini, kita menggunakan aturan rantai dengan mengalikan turunan fungsi dalam fungsi. Dalam hal ini, turunan \( \frac{d v}{d x} \) sama dengan \( 5x^{4} \). Selanjutnya, kita tentukan turunan fungsi \( u=\cos \left(x^{5}\right) \). Dalam hal ini, kita menggunakan aturan rantai lagi dengan mengalikan turunan fungsi luar dengan turunan fungsi dalam. Turunan \( \frac{d u}{d v} \) sama dengan \( -\sin v \times 5x^{4} \). Jadi, turunan \( \frac{d u}{d v} \) adalah \( -5x^{4}\sin v \). Kembali ke fungsi awal \( y=\cos ^{3}\left(x^{5}\right) \), kita dapat menggantikan \( u \) dengan \( \cos \left(x^{5}\right) \) sehingga \( y=\left[\cos \left(x^{5}\right)\right]^{3} \). Dalam hal ini, kita memiliki \( y=u^{3} \). Untuk mencari turunan fungsi \( y \), kita menggunakan aturan rantai dan mengalikan turunan fungsi luar dengan turunan fungsi dalam. Turunan \( \frac{d y}{d u} \) adalah \( 3u^{2} \). Selanjutnya, kita substitusikan turunan \( \frac{d u}{d v} \) dan \( \frac{d v}{d x} \) ke dalam turunan \( \frac{d y}{dx} \) menggunakan aturan rantai. Dalam hal ini, turunan \( \frac{d y}{dx} \) adalah \( 3u^{2} \times -5x^{4}\sin v \times 5x^{4} \). Setelah menyederhanakan ekspresi tersebut, kita dapat menghasilkan turunan akhir dari fungsi \( y \): \[ y^{\prime}= -75x^{8}u^{2}\sin v \] Dengan demikian, kita telah berhasil menghitung turunan fungsi trigonometri bentuk \( y=\cos ^{3}\left(x^{5}\right) \) menggunakan aturan rantai. Turunan akhir dari fungsi ini adalah \( y^{\prime}= -75x^{8}u^{2}\sin v \). Dalam artikel ini, kita telah melihat bagaimana menggunakan aturan rantai untuk menghitung turunan fungsi trigonometri bentuk \( y=\cos ^{3}\left(x^{5}\right) \). Turunan ini dapat digunakan untuk mempelajari perubahan-perubahan dalam fungsi ini dan dalam konteks masalah yang lebih luas.