Bentuk rasional dari \( \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}-\sqrt{3}} \)

Dalam matematika, bentuk rasional adalah bentuk pecahan di mana pembilang dan penyebutnya adalah bilangan bulat. Dalam artikel ini, kita akan membahas bagaimana mengubah bentuk pecahan \( \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}-\sqrt{3}} \) menjadi bentuk rasional. Pertama-tama, mari kita perhatikan bentuk pecahan tersebut. Pecahan ini memiliki akar kuadrat di pembilang dan penyebutnya, yaitu \( \sqrt{2} \) dan \( \sqrt{5}-\sqrt{3} \). Untuk mengubahnya menjadi bentuk rasional, kita perlu menghilangkan akar kuadrat di penyebut. Untuk melakukannya, kita dapat menggunakan metode konjugat. Metode ini melibatkan perkalian penyebut dengan konjugat dari penyebut tersebut. Dalam hal ini, konjugat dari \( \sqrt{5}-\sqrt{3} \) adalah \( \sqrt{5}+\sqrt{3} \). Dengan mengalikan penyebut dengan konjugatnya, kita dapat menghilangkan akar kuadrat di penyebut. Namun, kita juga harus mengalikan pembilang dengan konjugatnya agar pecahan tetap setara. Jadi, kita memiliki: \[ \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}-\sqrt{3}} \times \frac{\sqrt{5}+\sqrt{3}}{\sqrt{5}+\sqrt{3}} \] Sekarang, mari kita sederhanakan pecahan ini. Dalam perkalian pecahan, kita dapat mengalikan pembilang dengan pembilang dan penyebut dengan penyebut. \[ \frac{\sqrt{2}(\sqrt{5}+\sqrt{3})}{(\sqrt{5}-\sqrt{3})(\sqrt{5}+\sqrt{3})} \] \[ \frac{\sqrt{2}(\sqrt{5}+\sqrt{3})}{(\sqrt{5})^2-(\sqrt{3})^2} \] \[ \frac{\sqrt{2}(\sqrt{5}+\sqrt{3})}{5-3} \] \[ \frac{\sqrt{2}(\sqrt{5}+\sqrt{3})}{2} \] Sekarang, kita dapat menyederhanakan pecahan ini dengan membagi pembilang dan penyebut dengan 2. \[ \frac{\sqrt{2}(\sqrt{5}+\sqrt{3})}{2} = \frac{\sqrt{2}\sqrt{5}+\sqrt{2}\sqrt{3}}{2} \] \[ = \frac{\sqrt{10}+\sqrt{6}}{2} \] Jadi, bentuk rasional dari \( \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}-\sqrt{3}} \) adalah \( \frac{\sqrt{10}+\sqrt{6}}{2} \). Dalam artikel ini, kita telah membahas bagaimana mengubah bentuk pecahan \( \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}-\sqrt{3}} \) menjadi bentuk rasional menggunakan metode konjugat.