Analisis Fungsi \( f(x, y) = 2x^2 + 2xy - y^2 \) pada Titik \( (1,1) \)

Fungsi \( f(x, y) = 2x^2 + 2xy - y^2 \) adalah fungsi kuadrat dua variabel. Dalam artikel ini, kita akan menganalisis fungsi ini pada titik \( (1,1) \) dan melihat bagaimana arah gradien dan vektor normal dapat digunakan untuk memahami sifat fungsi ini. Pertama, mari kita cari gradien dari fungsi ini pada titik \( (1,1) \). Gradien adalah vektor yang menunjukkan arah dan tingkat perubahan terbesar dari fungsi pada suatu titik. Untuk mencari gradien, kita perlu menghitung turunan parsial fungsi ini terhadap \( x \) dan \( y \). Turunan parsial terhadap \( x \): \[ \frac{{\partial f}}{{\partial x}} = 4x + 2y \] Turunan parsial terhadap \( y \): \[ \frac{{\partial f}}{{\partial y}} = 2x - 2y \] Sekarang, kita dapat menggantikan \( x \) dan \( y \) dengan nilai \( 1 \) untuk mencari gradien pada titik \( (1,1) \). Gradien pada titik \( (1,1) \): \[ \frac{{\partial f}}{{\partial x}}(1,1) = 4(1) + 2(1) = 6 \] \[ \frac{{\partial f}}{{\partial y}}(1,1) = 2(1) - 2(1) = 0 \] Dari perhitungan di atas, kita dapat melihat bahwa gradien pada titik \( (1,1) \) adalah \( 6i + 0j \), di mana \( i \) dan \( j \) adalah vektor unit dalam arah sumbu \( x \) dan \( y \). Ini berarti bahwa arah gradien pada titik \( (1,1) \) adalah arah sumbu \( x \) dengan tingkat perubahan terbesar sebesar \( 6 \). Selanjutnya, mari kita cari vektor normal dari fungsi ini pada titik \( (1,1) \). Vektor normal adalah vektor yang tegak lurus terhadap gradien pada suatu titik. Untuk mencari vektor normal, kita perlu mengambil negatif dari gradien dan menukar komponen \( i \) dan \( j \). Vektor normal pada titik \( (1,1) \): \[ -\frac{{\partial f}}{{\partial x}}(1,1) = -6i \] \[ -\frac{{\partial f}}{{\partial y}}(1,1) = 0j \] Dari perhitungan di atas, kita dapat melihat bahwa vektor normal pada titik \( (1,1) \) adalah \( -6i + 0j \), yang berarti vektor normal tegak lurus terhadap sumbu \( x \) dan tidak memiliki komponen dalam arah sumbu \( y \). Dengan mengetahui arah gradien dan vektor normal pada titik \( (1,1) \), kita dapat memahami sifat fungsi \( f(x, y) = 2x^2 + 2xy - y^2 \) pada titik tersebut. Arah gradien menunjukkan arah perubahan terbesar dari fungsi, sedangkan vektor normal menunjukkan arah tegak lurus terhadap arah perubahan terbesar. Dalam hal ini, arah gradien adalah arah sumbu \( x \) dengan tingkat perubahan terbesar sebesar \( 6 \), sedangkan vektor normal tegak lurus terhadap sumbu \( x \) dan tidak memiliki komponen dalam arah sumbu \( y \). Dengan demikian, pada titik \( (1,1) \), fungsi \( f(x, y) = 2x^2 + 2xy - y^2 \) memiliki tingkat perubahan terbesar dalam arah sumbu \( x \) sebesar \( 6 \), dan tidak memiliki perubahan dalam arah sumbu \( y \).