Solusi Sistem Persamaan Linear dengan Metode Gabungan

Sistem persamaan linear adalah salah satu topik yang penting dalam matematika. Dalam artikel ini, kita akan membahas metode gabungan untuk menyelesaikan sistem persamaan linear. Metode gabungan adalah pendekatan yang menggabungkan metode eliminasi Gauss dan metode substitusi. Dengan menggunakan metode gabungan, kita dapat menemukan solusi dari sistem persamaan linear yang kompleks. Pertama-tama, mari kita lihat sistem persamaan linear yang akan kita selesaikan: \[ \begin{align*} 2x + 5y - 3z &= 3 \\ 6x + 8y - 5z &= 7 \\ -3x + 3y + 4z &= 15 \\ \end{align*} \] Metode gabungan dimulai dengan menggunakan metode eliminasi Gauss untuk mengubah sistem persamaan linear menjadi bentuk matriks yang lebih sederhana. Dalam metode eliminasi Gauss, kita menggunakan operasi baris elementer untuk menghilangkan variabel yang tidak diketahui satu per satu. Setelah melakukan operasi baris elementer, sistem persamaan linear akan menjadi: \[ \begin{align*} 2x + 5y - 3z &= 3 \\ -2y + 4z &= 1 \\ -3x + 3y + 4z &= 15 \\ \end{align*} \] Setelah sistem persamaan linear dalam bentuk matriks, kita dapat menggunakan metode substitusi untuk menyelesaikannya. Metode substitusi melibatkan menggantikan variabel yang tidak diketahui dengan ekspresi yang diketahui dari persamaan lain dalam sistem. Dalam kasus ini, kita dapat menggunakan persamaan kedua untuk menggantikan variabel y dengan ekspresi 4z - 1. Setelah melakukan substitusi, sistem persamaan linear akan menjadi: \[ \begin{align*} 2x + 5(4z - 1) - 3z &= 3 \\ -2(4z - 1) + 4z &= 1 \\ -3x + 3(4z - 1) + 4z &= 15 \\ \end{align*} \] Dengan melakukan operasi aljabar sederhana, kita dapat menyederhanakan sistem persamaan linear menjadi bentuk yang lebih sederhana: \[ \begin{align*} 2x + 20z - 5 - 3z &= 3 \\ -8z + 2 + 4z &= 1 \\ -3x + 12z - 3 + 4z &= 15 \\ \end{align*} \] Setelah menyederhanakan sistem persamaan linear, kita dapat menggunakan metode substitusi lagi untuk menyelesaikannya. Dalam kasus ini, kita dapat menggunakan persamaan kedua untuk menggantikan variabel z dengan ekspresi (1 - 2)/(-4). Setelah melakukan substitusi, kita dapat menemukan solusi dari sistem persamaan linear: \[ \begin{align*} 2x + 20\left(\frac{1 - 2}{-4}\right) - 5 - 3\left(\frac{1 - 2}{-4}\right) &= 3 \\ -8\left(\frac{1 - 2}{-4}\right) + 2 + 4\left(\frac{1 - 2}{-4}\right) &= 1 \\ -3x + 12\left(\frac{1 - 2}{-4}\right) - 3 + 4\left(\frac{1 - 2}{-4}\right) &= 15 \\ \end{align*} \] Dengan melakukan operasi aljabar sederhana, kita dapat menemukan solusi dari sistem persamaan linear: \[ \begin{align*} x &= 2 \\ y &= -1 \\ z &= 1 \\ \end{align*} \] Dengan demikian, solusi dari sistem persamaan linear adalah x = 2, y = -1, dan z = 1. Metode gabungan adalah salah satu metode yang efektif untuk menyelesaikan sistem persamaan linear yang kompleks. Dengan menggunakan metode gabungan, kita dapat dengan mudah menemukan solusi dari sistem persamaan linear dengan cepat dan akurat.