Memahami dan Menghitung Integral dari \(\int \sqrt{(3 x+2)^{3}} d x\)

Dalam matematika, integral adalah salah satu konsep yang sangat penting. Integral digunakan untuk menghitung luas di bawah kurva fungsi, serta untuk menemukan nilai rata-rata dari suatu fungsi di suatu interval. Salah satu jenis integral yang sering digunakan adalah integral tak tentu, yang juga dikenal sebagai antiderivatif. Dalam artikel ini, kita akan fokus pada menghitung integral tak tentu dari fungsi \(\sqrt{(3 x+2)^{3}}\). Untuk menghitung integral ini, kita akan menggunakan beberapa teknik dan rumus integral yang telah ditetapkan. Pertama, kita perlu mengingat rumus integral dasar, yaitu \(\int x^{n} d x = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C\), di mana \(n\) adalah bilangan bulat positif dan \(C\) adalah konstanta integrasi. Dalam kasus kita, kita memiliki \(\sqrt{(3 x+2)^{3}}\), yang dapat kita tulis sebagai \((3 x+2)^{\frac{3}{2}}\). Untuk menghitung integral ini, kita perlu menggunakan substitusi. Kita dapat menggunakan substitusi \(u = 3 x+2\), sehingga \(d u = 3 d x\). Dengan mengganti variabel dan mengubah \(d x\) menjadi \(\frac{d u}{3}\), kita dapat menulis integral kita sebagai \(\int (3 x+2)^{\frac{3}{2}} d x = \int u^{\frac{3}{2}} \frac{d u}{3}\). Selanjutnya, kita dapat menggunakan rumus integral dasar yang telah kita pelajari sebelumnya untuk menghitung integral ini. Dengan menggunakan rumus \(\int x^{n} d x = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C\), kita dapat menulis integral kita sebagai \(\frac{1}{3} \int u^{\frac{3}{2}} d u\). Menggunakan rumus integral dasar lagi, kita dapat menghitung integral ini sebagai \(\frac{1}{3} \cdot \frac{u^{\frac{3}{2}+1}}{\frac{3}{2}+1} + C\). Dengan menyederhanakan ekspresi ini, kita dapat menulis integral kita sebagai \(\frac{2}{9} u^{\frac{5}{2}} + C\). Terakhir, kita perlu mengganti kembali variabel kita. Kita menggunakan substitusi \(u = 3 x+2\), sehingga kita dapat menulis hasil akhir kita sebagai \(\frac{2}{9} (3 x+2)^{\frac{5}{2}} + C\). Dengan demikian, kita telah berhasil menghitung integral dari \(\int \sqrt{(3 x+2)^{3}} d x\) dan mendapatkan hasil akhir \(\frac{2}{9} (3 x+2)^{\frac{5}{2}} + C\).