Menentukan Vektor Proyeksi Tegak Lurus dan Panjangnya dalam Kasus Titik A, B, dan C

Dalam kasus titik A(1,2,3), B(-2,2,1), dan C(3,1,3), kita diminta untuk menentukan vektor proyeksi tegak lurus terhadap vektor u = AB dan vektor proyeksi tegak lurus terhadap vektor v = AC. Selain itu, kita juga diminta untuk menghitung panjang dari kedua vektor proyeksi tersebut. a. Vektor Proyeksi Tegak Lurus terhadap vektor u = AB: Untuk menentukan vektor proyeksi tegak lurus terhadap vektor u = AB, kita perlu menggunakan rumus proyeksi orthogonal. Rumus ini diberikan oleh: proj_v(u) = (u . v / ||v||^2) * v Di mana u . v adalah hasil perkalian dot antara vektor u dan v, ||v|| adalah panjang vektor v, dan v adalah vektor yang ingin kita proyeksikan. Dalam kasus ini, vektor u = AB dapat dihitung dengan mengurangkan koordinat titik B dengan koordinat titik A: u = B - A = (-2,2,1) - (1,2,3) = (-3,0,-2) Selanjutnya, kita perlu menghitung hasil perkalian dot antara vektor u dan vektor v = AC: u . v = (-3,0,-2) . (3,1,3) = -9 + 0 - 6 = -15 Kemudian, kita perlu menghitung panjang vektor v = AC: ||v|| = sqrt(3^2 + 1^2 + 3^2) = sqrt(9 + 1 + 9) = sqrt(19) Dengan menggunakan rumus proyeksi orthogonal, kita dapat menghitung vektor proyeksi tegak lurus terhadap vektor u = AB: proj_v(u) = (-15 / (sqrt(19))^2) * (3,1,3) = (-15 / 19) * (3,1,3) = (-45/19, -15/19, -45/19) Jadi, vektor proyeksi tegak lurus terhadap vektor u = AB adalah (-45/19, -15/19, -45/19). b. Panjang dari vektor proyeksi tegak lurus terhadap vektor u = AB: Untuk menghitung panjang vektor proyeksi tegak lurus terhadap vektor u = AB, kita perlu menghitung panjang vektor tersebut. Panjang vektor dapat dihitung dengan menggunakan rumus: ||proj_v(u)|| = sqrt((-45/19)^2 + (-15/19)^2 + (-45/19)^2) = sqrt(2025/361 + 225/361 + 2025/361) = sqrt(4275/361) = sqrt(11.84) Jadi, panjang dari vektor proyeksi tegak lurus terhadap vektor u = AB adalah sqrt(11.84). Dengan demikian, kita telah berhasil menentukan vektor proyeksi tegak lurus dan panjangnya dalam kasus titik A, B, dan C.