Menghitung Nilai Sinus Sudut Lanjutan

Dalam matematika, sinus adalah salah satu fungsi trigonometri yang sering digunakan untuk menghitung hubungan antara sudut dan panjang sisi dalam segitiga. Dalam artikel ini, kita akan membahas bagaimana menghitung nilai sinus dari sudut lanjutan berdasarkan informasi yang diberikan. Dalam soal ini, kita diberikan informasi bahwa \( \sin \alpha = \frac{7}{25} \) dan \( \sin \beta = \frac{3}{5} \), dengan \( \alpha \) merupakan sudut lancip dan \( \beta \) merupakan sudut tumpul. Kita diminta untuk mencari nilai \( \sin (\alpha + \beta) \). Untuk mencari nilai \( \sin (\alpha + \beta) \), kita dapat menggunakan rumus trigonometri yang menghubungkan sinus sudut lanjutan dengan sinus sudut awal. Rumus tersebut adalah: \[ \sin (\alpha + \beta) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta \] Dalam rumus ini, kita perlu mengetahui nilai dari \( \cos \alpha \) dan \( \cos \beta \). Namun, informasi tersebut tidak diberikan dalam soal ini. Oleh karena itu, kita perlu mencari cara lain untuk mencari nilai \( \sin (\alpha + \beta) \). Salah satu cara yang dapat kita gunakan adalah dengan menggunakan identitas trigonometri yang menghubungkan sinus dan kosinus. Identitas tersebut adalah: \[ \sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1 \] Dengan menggunakan identitas ini, kita dapat mencari nilai \( \cos \alpha \) dan \( \cos \beta \) dengan menggunakan informasi yang diberikan dalam soal. Pertama, kita dapat mencari nilai \( \cos \alpha \) dengan menggunakan identitas \( \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \). Kita sudah diberikan informasi bahwa \( \sin \alpha = \frac{7}{25} \). Dengan menggantikan nilai \( \sin \alpha \) yang diketahui, kita dapat mencari nilai \( \cos \alpha \) sebagai berikut: \[ \left(\frac{7}{25}\right)^2 + \cos^2 \alpha = 1 \] \[ \frac{49}{625} + \cos^2 \alpha = 1 \] \[ \cos^2 \alpha = 1 - \frac{49}{625} \] \[ \cos^2 \alpha = \frac{576}{625} \] \[ \cos \alpha = \pm \frac{24}{25} \] Namun, karena \( \alpha \) merupakan sudut lancip, maka \( \cos \alpha \) harus positif. Oleh karena itu, kita dapat mengambil nilai \( \cos \alpha = \frac{24}{25} \). Selanjutnya, kita dapat mencari nilai \( \cos \beta \) dengan menggunakan identitas \( \sin^2 \beta + \cos^2 \beta = 1 \). Kita sudah diberikan informasi bahwa \( \sin \beta = \frac{3}{5} \). Dengan menggantikan nilai \( \sin \beta \) yang diketahui, kita dapat mencari nilai \( \cos \beta \) sebagai berikut: \[ \left(\frac{3}{5}\right)^2 + \cos^2 \beta = 1 \] \[ \frac{9}{25} + \cos^2 \beta = 1 \] \[ \cos^2 \beta = 1 - \frac{9}{25} \] \[ \cos^2 \beta = \frac{16}{25} \] \[ \cos \beta = \pm \frac{4}{5} \] Namun, karena \( \beta \) merupakan sudut tumpul, maka \( \cos \beta \) harus negatif. Oleh karena itu, kita dapat mengambil nilai \( \cos \beta = -\frac{4}{5} \). Sekarang, kita memiliki nilai \( \sin \alpha = \frac{7}{25} \), \( \sin \beta = \frac{3}{5} \), \( \cos \alpha = \frac{24}{25} \), dan \( \cos \beta = -\frac{4}{5} \). Dengan menggunakan rumus \( \sin (\alpha + \beta) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta \), kita dapat menghitung nilai \( \sin (\alpha + \beta) \) sebagai berikut: \[ \sin (\alpha + \beta) = \frac{7}{25} \cdot \left(-\frac{4}{5}\right) + \frac{24}{25} \cdot \frac{3}{5} \] \[ \sin (\alpha + \beta) = -\frac{28}{125} + \frac{72}{125} \] \[ \sin (\alpha + \beta) = \frac{44}{125} \] Jadi, nilai \( \sin (\alpha + \beta) \) adalah \( \frac{44}{125} \). Oleh karena itu, jawaban yang benar adalah D.