Menghitung Nilai dari \( \frac{\log _{3} 36 \cdot \log _{6} 81+\log _{4} 32}{\log _{\frac{1}{9}} 27} \)

Dalam artikel ini, kita akan membahas bagaimana menghitung nilai dari ekspresi matematika \( \frac{\log _{3} 36 \cdot \log _{6} 81+\log _{4} 32}{\log _{\frac{1}{9}} 27} \). Ekspresi ini melibatkan logaritma dengan berbagai basis yang berbeda. Mari kita jelajahi langkah-langkah yang diperlukan untuk menyelesaikan masalah ini. Pertama, mari kita perhatikan bagian atas ekspresi, yaitu \( \log _{3} 36 \cdot \log _{6} 81+\log _{4} 32 \). Untuk menghitung nilai dari ekspresi ini, kita perlu menghitung nilai masing-masing logaritma terlebih dahulu. Pertama-tama, mari kita hitung nilai dari \( \log _{3} 36 \). Logaritma dengan basis 3 dari 36 adalah berapa? Untuk mencari tahu, kita perlu mencari angka eksponen yang meningkatkan 3 menjadi 36. Dalam hal ini, kita tahu bahwa \( 3^{2} = 9 \) dan \( 3^{3} = 27 \). Dengan demikian, kita dapat menyimpulkan bahwa \( \log _{3} 36 = 2 \). Selanjutnya, mari kita hitung nilai dari \( \log _{6} 81 \). Logaritma dengan basis 6 dari 81 adalah berapa? Kita tahu bahwa \( 6^{2} = 36 \) dan \( 6^{3} = 216 \). Dengan demikian, kita dapat menyimpulkan bahwa \( \log _{6} 81 = \frac{2}{3} \). Terakhir, mari kita hitung nilai dari \( \log _{4} 32 \). Logaritma dengan basis 4 dari 32 adalah berapa? Kita tahu bahwa \( 4^{2} = 16 \) dan \( 4^{3} = 64 \). Oleh karena itu, kita dapat menyimpulkan bahwa \( \log _{4} 32 = \frac{5}{2} \). Sekarang, kita memiliki nilai-nilai logaritma yang diperlukan untuk menghitung bagian atas ekspresi. Mari kita lanjutkan dengan mengalikan nilai-nilai ini: \( 2 \cdot \frac{2}{3} + \frac{5}{2} \). Untuk mengalikan pecahan, kita perlu memiliki denominasi yang sama. Dalam hal ini, kita dapat mengalikan 2 dengan 3 dan 5 dengan 2 untuk mendapatkan denominasi yang sama, yaitu 6. Oleh karena itu, kita dapat menyederhanakan ekspresi menjadi \( \frac{4}{6} + \frac{15}{6} \). Sekarang, kita dapat menjumlahkan pecahan ini: \( \frac{4+15}{6} \). Ini adalah \( \frac{19}{6} \). Selanjutnya, kita perlu memperhatikan bagian bawah ekspresi, yaitu \( \log _{\frac{1}{9}} 27 \). Logaritma dengan basis \( \frac{1}{9} \) dari 27 adalah berapa? Kita tahu bahwa \( \left( \frac{1}{9} \right)^{2} = \frac{1}{81} \) dan \( \left( \frac{1}{9} \right)^{3} = \frac{1}{729} \). Oleh karena itu, kita dapat menyimpulkan bahwa \( \log _{\frac{1}{9}} 27 = \frac{3}{2} \). Sekarang, kita dapat memasukkan nilai-nilai ini ke dalam ekspresi awal kita: \( \frac{\frac{19}{6}}{\frac{3}{2}} \). Untuk membagi pecahan, kita dapat mengalikan pecahan pertama dengan kebalikan pecahan kedua. Jadi, kita dapat menyederhanakan ekspresi menjadi \( \frac{19}{6} \cdot \frac{2}{3} \). Ketika kita mengalikan pecahan, kita dapat mengalikan pembilang dengan pembilang dan penyebut dengan penyebut. Oleh karena itu, kita dapat menyederhanakan ekspresi menjadi \( \frac{19 \cdot 2}{6 \cdot 3} \). Sekarang, kita dapat menyederhanakan ekspresi ini: \( \frac{38}{18} \). Terakhir, kita dapat menyederhanakan pecahan ini dengan membagi pembilang dan penyebut dengan faktor persekutuan terbesar, yaitu 2. Oleh karena itu, kita dapat menyimpulkan bahwa \( \frac{38}{18} = \frac{19}{9} \). Jadi, nilai dari \( \frac{\log _{3} 36 \cdot \log _{6} 81+\log _{4} 32}{\log _{\frac{1}{9}} 27} \) adalah \( \frac{19}{9} \).