Panjang Vektor \( \overrightarrow{P Q} \) dalam Ruang Tiga Dimensi

Dalam matematika, vektor adalah objek geometri yang memiliki magnitude (panjang) dan arah. Dalam artikel ini, kita akan membahas tentang panjang vektor dalam ruang tiga dimensi. Khususnya, kita akan mencari panjang dari vektor \( \overrightarrow{P Q} \) dengan menggunakan koordinat vektor \( \vec{P} \) dan \( \vec{Q} \). Untuk memulai, mari kita tinjau koordinat vektor \( \vec{P} \) dan \( \vec{Q} \). Diketahui bahwa \( \vec{P} = \left(\begin{array}{c}4 \\ -5 \\ 1\end{array}\right) \) dan \( \vec{Q} = \left(\begin{array}{c}-2 \\ 4 \\ 2\end{array}\right) \). Kedua vektor ini memiliki tiga komponen, yaitu komponen x, y, dan z. Untuk mencari panjang vektor \( \overrightarrow{P Q} \), kita dapat menggunakan rumus panjang vektor dalam ruang tiga dimensi. Rumus ini diberikan oleh: \[ \left\| \overrightarrow{P Q} \right\| = \sqrt{(Q_x - P_x)^2 + (Q_y - P_y)^2 + (Q_z - P_z)^2} \] Dalam rumus ini, \( Q_x \), \( Q_y \), dan \( Q_z \) adalah komponen-komponen vektor \( \vec{Q} \), sedangkan \( P_x \), \( P_y \), dan \( P_z \) adalah komponen-komponen vektor \( \vec{P} \). Mari kita substitusikan nilai-nilai koordinat vektor \( \vec{P} \) dan \( \vec{Q} \) ke dalam rumus panjang vektor. Setelah melakukan perhitungan, kita akan mendapatkan panjang vektor \( \overrightarrow{P Q} \). \[ \left\| \overrightarrow{P Q} \right\| = \sqrt{(-2 - 4)^2 + (4 - (-5))^2 + (2 - 1)^2} \] \[ \left\| \overrightarrow{P Q} \right\| = \sqrt{(-6)^2 + (9)^2 + (1)^2} \] \[ \left\| \overrightarrow{P Q} \right\| = \sqrt{36 + 81 + 1} \] \[ \left\| \overrightarrow{P Q} \right\| = \sqrt{118} \] Jadi, panjang vektor \( \overrightarrow{P Q} \) adalah \( \sqrt{118} \). Dalam artikel ini, kita telah membahas tentang panjang vektor dalam ruang tiga dimensi. Kita telah menggunakan koordinat vektor \( \vec{P} \) dan \( \vec{Q} \) untuk mencari panjang vektor \( \overrightarrow{P Q} \). Dengan menggunakan rumus panjang vektor, kita dapat dengan mudah menghitung panjang vektor dalam ruang tiga dimensi.