Persamaan Grafik Fungsi Kuadrat dengan Titik Balik dan Melalui Titik Tertentu

Dalam matematika, fungsi kuadrat adalah fungsi yang memiliki bentuk umum $f(x) = ax^2 + bx + c$, di mana $a$, $b$, dan $c$ adalah konstanta. Fungsi kuadrat ini memiliki grafik berbentuk parabola yang dapat memiliki titik balik dan melalui titik tertentu. Dalam artikel ini, kita akan membahas persamaan grafik fungsi kuadrat yang memiliki titik balik di $P(-2,6)$ dan melalui titik $A(-3,4)$. Untuk menemukan persamaan grafik fungsi kuadrat yang memenuhi persyaratan ini, kita dapat menggunakan metode substitusi. Pertama, kita akan mencari nilai $a$, $b$, dan $c$ dengan menggunakan titik balik $P(-2,6)$. Kita dapat menggunakan rumus titik balik $x = -\frac{b}{2a}$ dan $y = f(x)$ untuk mencari nilai-nilai ini. Dengan menggantikan nilai $x$ dengan $-2$ dan $y$ dengan $6$, kita dapat membentuk persamaan berikut: $-2 = -\frac{b}{2a}$ $6 = a(-2)^2 + b(-2) + c$ Dari persamaan pertama, kita dapat mengalikan kedua sisi dengan $2a$ untuk mendapatkan: $-4a = -b$ Kemudian, kita dapat menggantikan nilai $b$ dalam persamaan kedua dengan $-4a$: $6 = a(-2)^2 + (-4a)(-2) + c$ $6 = 4a + 8a + c$ $6 = 12a + c$ Selanjutnya, kita akan menggunakan titik $A(-3,4)$ untuk mencari nilai $a$, $b$, dan $c$. Kita dapat menggantikan nilai $x$ dengan $-3$ dan $y$ dengan $4$ dalam persamaan umum fungsi kuadrat: $4 = a(-3)^2 + b(-3) + c$ $4 = 9a - 3b + c$ Dengan membandingkan persamaan ini dengan persamaan sebelumnya, kita dapat menyamakan koefisien-koefisien yang sesuai: $12a + c = 9a - 3b + c$ $3a = -3b$ $a = -b$ Dari sini, kita dapat menyimpulkan bahwa nilai $a$ dan $b$ adalah negatif dan sama besar. Kita juga dapat menggantikan nilai $a$ dengan $-b$ dalam persamaan sebelumnya: $6 = 12a + c$ $6 = 12(-b) + c$ $6 = -12b + c$ Dengan membandingkan persamaan ini dengan persamaan sebelumnya, kita dapat menyamakan koefisien-koefisien yang sesuai: $-12b + c = 9a - 3b + c$ $-12b = 9a - 3b$ $-9b = 9a$ $b = -a$ Dari sini, kita dapat menyimpulkan bahwa nilai $a$ dan $b$ adalah negatif dan sama besar. Dengan menggantikan nilai $b$ dengan $-a$ dalam persamaan sebelumnya, kita dapat menyederhanakan persamaan menjadi: $6 = -12b + c$ $6 = -12(-a) + c$ $6 = 12a + c$ Dengan demikian, kita telah menemukan persamaan grafik fungsi kuadrat yang memenuhi persyaratan ini: $f(x) = ax^2 + bx + c$ $f(x) = 12x^2 - 12x + 6$ Dengan menggunakan metode substitusi dan memanfaatkan titik balik dan titik tertentu yang diberikan, kita berhasil menemukan persamaan grafik fungsi kuadrat yang memiliki titik balik di $P(-2,6)$ dan melalui titik $A(-3,4)$.