Mencari Fungsi \(g(x)\) dalam Komposisi Fungsi

Dalam matematika, komposisi fungsi adalah operasi yang menggabungkan dua atau lebih fungsi menjadi satu fungsi baru. Dalam artikel ini, kita akan mencari fungsi \(g(x)\) yang merupakan bagian dari komposisi fungsi \(f \circ g\), dengan diketahui bahwa \(f \circ g(x) = x^2 + 13x + 40\) dan \(\operatorname{dim} f(x) = x^2 + 3x\). Untuk mencari fungsi \(g(x)\), kita perlu memahami konsep komposisi fungsi. Komposisi fungsi \(f \circ g\) berarti kita menggantikan variabel \(x\) dalam fungsi \(f\) dengan fungsi \(g(x)\). Dalam hal ini, kita ingin mencari fungsi \(g(x)\) yang ketika digunakan dalam komposisi dengan \(f(x)\), menghasilkan fungsi \(f \circ g(x) = x^2 + 13x + 40\). Langkah pertama adalah menentukan bentuk umum dari fungsi \(f \circ g(x)\). Diketahui bahwa \(\operatorname{dim} f(x) = x^2 + 3x\), kita dapat menggantikan \(f(x)\) dengan \(x^2 + 3x\) dalam fungsi \(f \circ g(x)\), sehingga kita memiliki: \[ f \circ g(x) = (x^2 + 3x)^2 + 13(x^2 + 3x) + 40 \] Sekarang, kita perlu menyederhanakan persamaan ini menjadi bentuk yang lebih sederhana. Mari kita selesaikan langkah ini. \[ f \circ g(x) = x^4 + 6x^3 + 9x^2 + 13x^2 + 39x + 40 \] \[ f \circ g(x) = x^4 + 6x^3 + 22x^2 + 39x + 40 \] Dalam bentuk ini, kita dapat melihat bahwa fungsi \(f \circ g(x)\) adalah fungsi kuadratik dengan koefisien tertentu. Sekarang, kita perlu mencocokkan koefisien ini dengan fungsi \(f \circ g(x) = x^2 + 13x + 40\) untuk mencari fungsi \(g(x)\). Dalam fungsi \(f \circ g(x)\), kita dapat melihat bahwa koefisien \(x^2\) adalah 1, koefisien \(x\) adalah 13, dan konstanta adalah 40. Dalam fungsi \(f \circ g(x)\) yang kita temukan sebelumnya, koefisien \(x^2\) adalah 1, koefisien \(x\) adalah 22, dan konstanta adalah 40. Dari perbandingan ini, kita dapat menyimpulkan bahwa fungsi \(g(x)\) harus memiliki bentuk: \[ g(x) = ax^2 + bx + c \] Dengan menggantikan koefisien yang sesuai, kita dapat menyelesaikan persamaan ini untuk mencari fungsi \(g(x)\). Dalam kasus ini, kita memiliki: \[ g(x) = x^2 + 9x + 40 \] Jadi, fungsi \(g(x)\) yang mencapai komposisi fungsi \(f \circ g(x) = x^2 + 13x + 40\) adalah \(g(x) = x^2 + 9x + 40\). Dalam artikel ini, kita telah mempelajari konsep komposisi fungsi dan menggunakan persamaan yang diberikan untuk mencari fungsi \(g(x)\) yang sesuai. Dengan memahami konsep ini, kita dapat menerapkan pengetahuan ini dalam berbagai masalah matematika yang melibatkan komposisi fungsi.