Pemahaman dan Operasi Matriks

Matriks adalah salah satu konsep penting dalam matematika yang digunakan untuk merepresentasikan data dalam bentuk tabel. Dalam artikel ini, kita akan membahas tentang matriks dan melakukan beberapa operasi dasar pada matriks.

Pertama-tama, mari kita lihat matriks M yang diberikan:

$M=[\begin{matrix} 7&6&5&4\\ 0&9&7&5\\ 0&0&1&2\\ 0&0&0&3\end{matrix} ]$

a. Perkalian Elemen Demi Elemen dari Matriks M

Perkalian elemen demi elemen dari matriks M dapat dilakukan dengan mengalikan setiap elemen dari matriks M dengan elemen yang sesuai dari matriks lain. Misalnya, jika kita ingin mengalikan matriks M dengan matriks N, hasilnya akan menjadi:

$MN=[\begin{matrix} 49&36&25&16\\ 0&81&49&25\\ 0&0&1&4\\ 0&0&0&9\end{matrix} ]$

b. Perkalian Matriks M dengan Matriks M (Secara Aljabar)

Perkalian matriks M dengan matriks M secara aljabar dapat dilakukan dengan mengalikan setiap baris dari matriks pertama dengan setiap kolom dari matriks kedua. Hasilnya akan menjadi matriks baru dengan ukuran yang sama seperti matriks asli. Misalnya, jika kita ingin mengalikan matriks M dengan matriks M, hasilnya akan menjadi:

$MM=[\begin{matrix} 49&60&59&58\\ 0&135&107&85\\ 0&0&1&2\\ 0&0&0&9\end{matrix} ]$

c. Invers dari Matriks M

Invers dari matriks M dapat ditemukan dengan menggunakan metode eliminasi Gauss-Jordan atau dengan menggunakan rumus invers. Namun, dalam kasus matriks M, karena matriks tersebut merupakan matriks segitiga atas, inversnya dapat ditemukan dengan mudah. Invers dari matriks M adalah:

$M^{-1}=[\begin{matrix} \frac{1}{7}&-\frac{2}{21}&\frac{13}{42}&-\frac{2}{21}\\ 0&\frac{1}{9}&-\frac{7}{18}&\frac{5}{18}\\ 0&0&1&-\frac{2}{3}\\ 0&0&0&\frac{1}{3}\end{matrix} ]$

d. Transpos dari Matriks M

Transpos dari matriks M dapat ditemukan dengan menukar baris dengan kolom. Hasilnya akan menjadi matriks baru dengan ukuran yang sama seperti matriks asli, tetapi elemen-elemennya ditukar posisinya. Transpos dari matriks M adalah:

$M^{T}=[\begin{matrix} 7&0&0&0\\ 6&9&0&0\\ 5&7&1&0\\ 4&5&2&3\end{matrix} ]$

e. $M^{T}\times M$

Untuk mengalikan matriks transpos dari M dengan M, kita dapat menggunakan aturan perkalian matriks biasa. Hasilnya akan menjadi matriks baru dengan ukuran yang sesuai. Misalnya, jika kita ingin mengalikan matriks transpos dari M dengan M, hasilnya akan menjadi:

$M^{T}M=[\begin{matrix} 70&54&43&34\\ 54&126&97&76\\ 43&97&75&56\\ 34&76&56&54\end{matrix} ]$

Dengan pemahaman dan operasi matriks di atas, kita dapat memanfaatkannya dalam berbagai bidang seperti ilmu komputer, fisika, ekonomi, dan banyak lagi. Matriks adalah alat yang sangat berguna dalam analisis data dan perhitungan matematika.