Mencari Nilai Cosinus Sudut C dalam Segitiga Lancip

Dalam matematika, segitiga lancip adalah segitiga yang memiliki semua sudutnya kurang dari 90 derajat. Dalam segitiga lancip \(ABC\), dengan \(A\), \(B\), dan \(C\) sebagai sudut-sudutnya, kita diberikan informasi bahwa \(\sin A = \frac{5}{13}\) dan \(\sin B = \frac{4}{5}\). Tugas kita adalah mencari nilai \(\cos C\). Untuk mencari nilai \(\cos C\), kita dapat menggunakan identitas trigonometri yang berkaitan dengan segitiga lancip. Salah satu identitas yang berguna adalah \(\sin^2 x + \cos^2 x = 1\). Dengan menggunakan identitas ini, kita dapat mencari nilai \(\cos C\) dengan menggantikan nilai \(\sin A\) dan \(\sin B\) yang telah diberikan. Pertama, kita perlu mencari nilai \(\cos A\) dan \(\cos B\). Kita dapat menggunakan identitas \(\sin^2 x + \cos^2 x = 1\) untuk mencari nilai \(\cos A\) dan \(\cos B\). Diketahui bahwa \(\sin A = \frac{5}{13}\), maka kita dapat menghitung \(\cos A\) sebagai berikut: \(\sin^2 A + \cos^2 A = 1\) \(\left(\frac{5}{13}\right)^2 + \cos^2 A = 1\) \(\frac{25}{169} + \cos^2 A = 1\) \(\cos^2 A = 1 - \frac{25}{169}\) \(\cos^2 A = \frac{144}{169}\) \(\cos A = \frac{12}{13}\) Selanjutnya, kita dapat menghitung \(\cos B\) dengan menggunakan informasi yang diberikan, yaitu \(\sin B = \frac{4}{5}\): \(\sin^2 B + \cos^2 B = 1\) \(\left(\frac{4}{5}\right)^2 + \cos^2 B = 1\) \(\frac{16}{25} + \cos^2 B = 1\) \(\cos^2 B = 1 - \frac{16}{25}\) \(\cos^2 B = \frac{9}{25}\) \(\cos B = \frac{3}{5}\) Sekarang, kita dapat menggunakan identitas trigonometri yang berkaitan dengan segitiga lancip, yaitu \(\sin A = \cos B\) dan \(\sin B = \cos A\), untuk mencari nilai \(\cos C\): \(\sin A = \cos B\) \(\frac{5}{13} = \frac{3}{5}\) \(\frac{5}{13} = \frac{3}{5}\) Dari persamaan di atas, kita dapat menyimpulkan bahwa \(\cos C = \frac{5}{13}\). Jadi, jawaban yang benar adalah A. \(\frac{16}{65}\). Dalam segitiga lancip \(ABC\) dengan \(\sin A = \frac{5}{13}\) dan \(\sin B = \frac{4}{5}\), nilai \(\cos C\) adalah \(\frac{16}{65}\).