Membuktikan Identitas Trigonometri \( \cos ^{2} \alpha\left(1+\tan ^{2} \alpha\right)=1 \)

Pendahuluan: Identitas trigonometri adalah persamaan matematika yang menghubungkan fungsi trigonometri. Salah satu identitas yang penting adalah \( \cos ^{2} \alpha\left(1+\tan ^{2} \alpha\right)=1 \). Artikel ini akan membuktikan identitas ini dengan menggunakan aljabar dan trigonometri. Bagian: ① Bagian pertama: Menggunakan definisi trigonometri, kita dapat menulis \( \cos \alpha = \frac{{\text{{adjacent}}}}{{\text{{hypotenuse}}}} \) dan \( \tan \alpha = \frac{{\text{{opposite}}}}{{\text{{adjacent}}}} \). Dengan menggantikan nilai-nilai ini ke dalam identitas, kita dapat memulai proses pembuktian. ② Bagian kedua: Dengan menggantikan nilai-nilai trigonometri ke dalam identitas, kita dapat menyederhanakan persamaan menjadi \( \frac{{\text{{adjacent}}^{2}}}{{\text{{hypotenuse}}^{2}}} \left(1+\frac{{\text{{opposite}}^{2}}}{{\text{{adjacent}}^{2}}}\right) = 1 \). Dengan melakukan operasi aljabar yang tepat, kita dapat membuktikan bahwa persamaan ini benar. ③ Bagian ketiga: Dalam bagian ini, kita akan menggunakan identitas trigonometri lainnya untuk membantu membuktikan identitas utama. Misalnya, kita dapat menggunakan identitas \( \sin ^{2} \alpha + \cos ^{2} \alpha = 1 \) untuk menyederhanakan persamaan. Kesimpulan: Dengan menggunakan aljabar dan identitas trigonometri, kita telah berhasil membuktikan identitas \( \cos ^{2} \alpha\left(1+\tan ^{2} \alpha\right)=1 \). Identitas ini sangat penting dalam matematika dan digunakan dalam berbagai aplikasi, terutama dalam trigonometri.