Analisis Persamaan Kuadrat dan Ketidaksetaraan

Persamaan kuadrat dan ketidaksetaraan adalah topik yang penting dalam matematika. Dalam artikel ini, kita akan menganalisis persamaan kuadrat dan ketidaksetaraan dengan fokus pada persamaan $x^{2}+x-12\geqslant 0$. Persamaan kuadrat adalah persamaan yang memiliki bentuk umum $ax^{2}+bx+c=0$, di mana $a$, $b$, dan $c$ adalah konstanta dan $x$ adalah variabel. Persamaan kuadrat dapat memiliki dua akar, satu akar, atau tidak memiliki akar sama sekali. Untuk mencari akar-akar persamaan kuadrat, kita dapat menggunakan rumus kuadrat atau melengkapi kuadrat. Dalam persamaan $x^{2}+x-12\geqslant 0$, kita ingin mencari nilai-nilai $x$ yang memenuhi ketidaksetaraan tersebut. Untuk melakukannya, kita perlu mencari titik-titik kritis di mana persamaan berubah tanda. Dalam kasus ini, kita perlu mencari titik-titik di mana $x^{2}+x-12=0$. Dengan menggunakan rumus kuadrat, kita dapat mencari akar-akar persamaan $x^{2}+x-12=0$. Dalam hal ini, akar-akar persamaan adalah $x=-4$ dan $x=3$. Kita dapat menggunakan titik-titik ini untuk membagi garis bilangan menjadi tiga interval: $(-\infty,-4)$, $(-4,3)$, dan $(3,\infty)$. Selanjutnya, kita perlu memeriksa tanda persamaan $x^{2}+x-12$ di setiap interval. Kita dapat menggunakan metode uji titik untuk melakukannya. Dalam interval $(-\infty,-4)$, kita dapat memilih titik uji $x=-5$. Jika kita substitusikan nilai ini ke dalam persamaan, kita akan mendapatkan $(-5)^{2}+(-5)-12=18$. Karena hasilnya positif, maka persamaan $x^{2}+x-12$ positif di interval ini. Dalam interval $(-4,3)$, kita dapat memilih titik uji $x=0$. Jika kita substitusikan nilai ini ke dalam persamaan, kita akan mendapatkan $0^{2}+0-12=-12$. Karena hasilnya negatif, maka persamaan $x^{2}+x-12$ negatif di interval ini. Dalam interval $(3,\infty)$, kita dapat memilih titik uji $x=4$. Jika kita substitusikan nilai ini ke dalam persamaan, kita akan mendapatkan $4^{2}+4-12=12$. Karena hasilnya positif, maka persamaan $x^{2}+x-12$ positif di interval ini. Dengan demikian, kita dapat menyimpulkan bahwa persamaan $x^{2}+x-12\geqslant 0$ terpenuhi ketika $x\in(-\infty,-4)\cup(3,\infty)$. Analisis ini memberikan pemahaman yang lebih dalam tentang persamaan kuadrat dan ketidaksetaraan. Dengan menggunakan metode uji titik, kita dapat menentukan interval-nilai yang memenuhi persamaan. Hal ini dapat diterapkan dalam berbagai situasi kehidupan nyata, seperti dalam pemodelan matematika atau analisis data.