Buktikan Tiga Properti Himpunan

Dalam matematika, himpunan adalah kumpulan objek yang memiliki karakteristik tertentu. Dalam artikel ini, kita akan membuktikan tiga properti himpunan yang diberikan. Mari kita mulai dengan membuktikan properti pertama. (a) Buktikan \( A-B=A \cap \bar{B} \) Untuk membuktikan ini, kita perlu menunjukkan bahwa setiap elemen yang ada di \( A-B \) juga ada di \( A \cap \bar{B} \), dan sebaliknya. Misalkan \( x \) adalah elemen yang ada di \( A-B \). Ini berarti \( x \) ada di \( A \) tetapi tidak ada di \( B \). Dalam hal ini, \( x \) juga ada di \( A \cap \bar{B} \), karena \( x \) ada di \( A \) dan tidak ada di \( B \). Sebaliknya, misalkan \( y \) adalah elemen yang ada di \( A \cap \bar{B} \). Ini berarti \( y \) ada di \( A \) dan tidak ada di \( B \). Dalam hal ini, \( y \) juga ada di \( A-B \), karena \( y \) ada di \( A \) tetapi tidak ada di \( B \). Dengan demikian, kita telah membuktikan bahwa \( A-B=A \cap \bar{B} \). (b) Buktikan \( A=(A \cap B) \cup(A-B) \) Untuk membuktikan ini, kita perlu menunjukkan bahwa setiap elemen yang ada di \( A \) juga ada di \( (A \cap B) \cup (A-B) \), dan sebaliknya. Misalkan \( x \) adalah elemen yang ada di \( A \). Ini berarti \( x \) ada di \( A \) dan oleh karena itu \( x \) ada di \( (A \cap B) \cup (A-B) \), karena \( x \) ada di \( A \cap B \) atau \( x \) ada di \( A-B \). Sebaliknya, misalkan \( y \) adalah elemen yang ada di \( (A \cap B) \cup (A-B) \). Ini berarti \( y \) ada di \( A \cap B \) atau \( y \) ada di \( A-B \). Dalam kedua kasus tersebut, \( y \) ada di \( A \). Dengan demikian, kita telah membuktikan bahwa \( A=(A \cap B) \cup(A-B) \). (c) Buktikan \( (A \cup B)-(A \cap B)=(B-A) \cup(A-B) \) Untuk membuktikan ini, kita perlu menunjukkan bahwa setiap elemen yang ada di \( (A \cup B)-(A \cap B) \) juga ada di \( (B-A) \cup (A-B) \), dan sebaliknya. Misalkan \( x \) adalah elemen yang ada di \( (A \cup B)-(A \cap B) \). Ini berarti \( x \) ada di \( A \cup B \) tetapi tidak ada di \( A \cap B \). Dalam hal ini, \( x \) ada di \( B-A \) atau \( x \) ada di \( A-B \), karena \( x \) ada di \( B \) tetapi tidak ada di \( A \cap B \). Sebaliknya, misalkan \( y \) adalah elemen yang ada di \( (B-A) \cup (A-B) \). Ini berarti \( y \) ada di \( B-A \) atau \( y \) ada di \( A-B \). Dalam kedua kasus tersebut, \( y \) ada di \( A \cup B \) tetapi tidak ada di \( A \cap B \). Dengan demikian, kita telah membuktikan bahwa \( (A \cup B)-(A \cap B)=(B-A) \cup(A-B) \). Dalam artikel ini, kita telah berhasil membuktikan tiga properti himpunan yang diberikan. Properti-properti ini memiliki aplikasi yang luas dalam matematika dan ilmu komputer.