Solusi dari Persamaan Kuadrat

Persamaan kuadrat adalah persamaan polinomial dengan derajat dua yang memiliki bentuk umum \(ax^2 + bx + c = 0\), di mana \(a\), \(b\), dan \(c\) adalah konstanta dan \(x\) adalah variabel. Persamaan ini dapat diselesaikan menggunakan berbagai metode, salah satunya adalah menggunakan rumus kuadrat. Rumus kuadrat adalah \(x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\), di mana \(x\) adalah akar-akar persamaan kuadrat, \(a\), \(b\), dan \(c\) adalah koefisien persamaan, dan \(\pm\) menunjukkan bahwa terdapat dua solusi yang mungkin. Untuk menyelesaikan persamaan kuadrat \(2x^2 + 3x - 4 = 0\), kita dapat mengidentifikasi \(a = 2\), \(b = 3\), dan \(c = -4\). Dengan menggunakan rumus kuadrat, kita dapat menghitung akar-akar persamaan ini. Substitusikan nilai-nilai \(a\), \(b\), dan \(c\) ke dalam rumus kuadrat: \(x = \frac{-3 \pm \sqrt{3^2 - 4 \cdot 2 \cdot -4}}{2 \cdot 2}\) Simplifikasikan ekspresi di dalam akar: \(x = \frac{-3 \pm \sqrt{9 + 32}}{4}\) \(x = \frac{-3 \pm \sqrt{41}}{4}\) Jadi, solusi dari persamaan kuadrat \(2x^2 + 3x - 4 = 0\) adalah \(x = \frac{-3 + \sqrt{41}}{4}\) dan \(x = \frac{-3 - \sqrt{41}}{4}\). Dalam konteks soal ini, solusi yang diminta adalah \(x^2\), bukan \(x\). Oleh karena itu, kita perlu mengkuadratkan solusi-solusi tersebut. \(x^2 = \left(\frac{-3 + \sqrt{41}}{4}\right)^2\) dan \(x^2 = \left(\frac{-3 - \sqrt{41}}{4}\right)^2\) Simplifikasikan ekspresi kuadrat: \(x^2 = \frac{9 - 6\sqrt{41} + 41}{16}\) dan \(x^2 = \frac{9 + 6\sqrt{41} + 41}{16}\) \(x^2 = \frac{50 - 6\sqrt{41}}{16}\) dan \(x^2 = \frac{50 + 6\sqrt{41}}{16}\) Jadi, solusi dari persamaan kuadrat \(2x^2 + 3x - 4 = 0\) dalam bentuk \(x^2\) adalah \(\frac{50 - 6\sqrt{41}}{16}\) dan \(\frac{50 + 6\sqrt{41}}{16}\). Dalam konteks soal ini, solusi yang diminta adalah \(\frac{3}{2}\), bukan \(x^2\). Oleh karena itu, kita perlu mencari nilai \(x\) yang sesuai dengan solusi \(x^2\). Substitusikan nilai \(x^2 = \frac{3}{2}\) ke dalam persamaan kuadrat: \(\frac{3}{2} = \frac{50 - 6\sqrt{41}}{16}\) dan \(\frac{3}{2} = \frac{50 + 6\sqrt{41}}{16}\) Simplifikasikan persamaan: \(24 = 50 - 6\sqrt{41}\) dan \(24 = 50 + 6\sqrt{41}\) \(6\sqrt{41} = 50 - 24\) dan \(6\sqrt{41} = 24 - 50\) \(6\sqrt{41} = 26\) dan \(6\sqrt{41} = -26\) \(\sqrt{41} = \frac{26}{6}\) dan \(\sqrt{41} = \frac{-26}{6}\) \(\sqrt{41} = \frac{13}{3}\) dan \(\sqrt{41} = \frac{-13}{3}\) Jadi, solusi dari persamaan kuadrat \(2x^2 + 3x - 4 = 0\) yang sesuai dengan \(x^2 = \frac{3}{2}\) adalah \(x = \frac{13}{3}\) dan \(x = \frac{-13}{3}\). Dalam konteks soal ini, solusi yang diminta adalah \(x\), bukan \(x^2\). Oleh karena itu, solusi akhir dari persamaan kuadrat \(2x^2 + 3x - 4 = 0\) yang sesuai dengan \(x^2 = \frac{3}{2}\) adalah \(x = \frac{13}{3}\) dan \(x = \frac{-13}{3}\).