Menguraikan Sistem Persamaan Linear

Sistem Persamaan Linear adalah konsep penting dalam matematika yang melibatkan hubungan antara beberapa variabel. Dalam artikel ini, kita akan menguraikan sistem persamaan linear yang diberikan dan mencari nilai \(3x\), \(3y\), dan \(8z\). Sistem persamaan linear yang diberikan adalah: \[ \begin{align*} 10x + 5y + 2z &= 96 \\ 2x + y + 3z &= 40 \\ 4x + y + 5z &= 66 \end{align*} \] Untuk mencari nilai \(3x\), \(3y\), dan \(8z\), kita akan menggunakan metode eliminasi Gauss atau metode substitusi. Metode eliminasi Gauss melibatkan pengurangan persamaan satu sama lain untuk menghilangkan salah satu variabel. Namun, dalam kasus ini, metode substitusi akan lebih efektif. Mari kita mulai dengan persamaan pertama: \[10x + 5y + 2z = 96\] Kita dapat menyelesaikan persamaan ini untuk \(x\) dalam hal \(y\) dan \(z\): \[x = \frac{96 - 5y - 2z}{10}\] Kemudian kita substitusikan nilai \(x\) ini ke dalam persamaan kedua dan ketiga: \[2\left(\frac{96 - 5y - 2z}{10}\right) + y + 3z = 40\] \[4\left(\frac{96 - 5y - 2z}{10}\right) + y + 5z = 66\] Dengan menyederhanakan persamaan-persamaan ini, kita dapat mengeliminasi \(x\) dan mendapatkan persamaan baru dalam hal \(y\) dan \(z\): \[4y + 6z = -4\] \[6y + 8z = 26\] Sekarang kita memiliki sistem persamaan baru: \[ \begin{align*} 4y + 6z &= -4 \\ 6y + 8z &= 26 \end{align*} \] Kita dapat menggunakan metode substitusi lagi untuk menyelesaikan sistem persamaan ini. Mari kita selesaikan persamaan pertama untuk \(y\) dalam hal \(z\): \[y = \frac{-4 - 6z}{4}\] Kemudian kita substitusikan nilai \(y\) ini ke dalam persamaan kedua: \[6\left(\frac{-4 - 6z}{4}\right) + 8z = 26\] Dengan menyederhanakan persamaan ini, kita dapat menyelesaikan untuk \(z\): \[z = 3\] Sekarang kita dapat substitusikan nilai \(z\) ini ke dalam persamaan pertama untuk mendapatkan nilai \(y\): \[y = -2\] Kemudian kita substitusikan nilai \(y\) dan \(z\) ini ke dalam persamaan pertama untuk mendapatkan nilai \(x\): \[x = 4\] Jadi, kita telah menemukan nilai \(3x\), \(3y\), dan \(8z\): \[3x = 12\] \[3y = -6\] \[8z = 24\] Dalam konteks sistem persamaan linear ini, nilai-nilai ini memiliki arti yang penting. Mereka adalah solusi dari sistem persamaan linear yang diberikan. Dalam artikel ini, kita telah menguraikan sistem persamaan linear dan mencari nilai \(3x\), \(3y\), dan \(8z\). Melalui metode substitusi, kita berhasil menemukan solusi sistem persamaan linear ini. Mari terus memperdalam pemahaman kita tentang sistem persamaan linear dan menerapkannya dalam situasi kehidupan nyata.