Menganalisis Integral Definite $\int _{0}^{3}(x+1)(x-1)dx$

Dalam matematika, integral adalah salah satu konsep yang sangat penting. Integral dapat digunakan untuk menghitung luas di bawah kurva, menghitung volume benda tiga dimensi, dan banyak lagi. Dalam artikel ini, kita akan menganalisis integral definit $\int _{0}^{3}(x+1)(x-1)dx$ dan melihat bagaimana kita dapat menghitungnya menggunakan metode tertentu. Pertama-tama, mari kita pahami apa yang dimaksud dengan integral definit. Integral definit adalah jenis integral yang memiliki batas bawah dan batas atas yang ditentukan. Dalam kasus ini, batas bawah adalah 0 dan batas atas adalah 3. Artinya, kita ingin menghitung luas di bawah kurva $(x+1)(x-1)$ dari $x=0$ hingga $x=3$. Untuk menghitung integral definit, kita dapat menggunakan beberapa metode, salah satunya adalah metode substitusi. Metode substitusi melibatkan mengganti variabel dalam integral dengan variabel baru yang memudahkan perhitungan. Dalam kasus ini, kita dapat menggunakan substitusi $u=x+1$. Dengan substitusi ini, kita dapat mengubah integral menjadi $\int _{1}^{4}u(u-2)du$. Setelah mengganti variabel, kita dapat menghitung integral baru ini dengan menggunakan aturan integral. Dalam kasus ini, kita dapat mengalikan dan menggabungkan suku-suku dalam integral, sehingga kita mendapatkan $\int _{1}^{4}(u^2-2u)du$. Kemudian, kita dapat menghitung integral ini dengan menghitung integral dari setiap suku secara terpisah. Integral dari $u^2$ adalah $\frac{u^3}{3}$ dan integral dari $-2u$ adalah $-u^2$. Dengan menggabungkan hasil ini, kita dapat menghitung integral definit $\int _{1}^{4}(u^2-2u)du$ menjadi $\left[\frac{u^3}{3}-u^2\right]_{1}^{4}$. Substitusi kembali $u$ dengan $x+1$, kita dapat menghitung integral definit awal $\int _{0}^{3}(x+1)(x-1)dx$ menjadi $\left[\frac{(x+1)^3}{3}-(x+1)^2\right]_{0}^{3}$. Setelah menghitung integral definit ini, kita dapat menemukan hasil akhirnya. Dalam kasus ini, hasil akhirnya adalah $\left[\frac{(3+1)^3}{3}-(3+1)^2\right]-\left[\frac{(0+1)^3}{3}-(0+1)^2\right]$. Setelah melakukan perhitungan, kita dapat menemukan hasil akhirnya adalah 8. Dalam artikel ini, kita telah menganalisis integral definit $\int _{0}^{3}(x+1)(x-1)dx$ dan melihat bagaimana kita dapat menghitungnya menggunakan metode substitusi. Melalui analisis ini, kita dapat melihat pentingnya integral dalam matematika dan bagaimana kita dapat menggunakannya untuk menghitung berbagai hal, seperti luas di bawah kurva.