Analisis Range dalam Fungsi Linear dan Kuadrat: Studi Kasus

Domain dan range merupakan konsep fundamental dalam matematika, khususnya saat mempelajari fungsi. Domain mengacu pada himpunan semua kemungkinan input suatu fungsi, sedangkan range adalah himpunan semua kemungkinan output yang sesuai. Memahami domain dan range sangat penting untuk memahami perilaku dan batasan fungsi. Artikel ini menyelidiki analisis range, dengan fokus khusus pada fungsi linear dan kuadrat, disertai studi kasus untuk mengilustrasikan konsep-konsep ini.

Menganalisis Range Fungsi Linear

Fungsi linear, yang direpresentasikan sebagai f(x) = mx + c, di mana m dan c adalah konstanta, dicirikan oleh grafik garis lurus. Sifat fungsi linear ini menyiratkan bahwa rangenya mencakup semua bilangan real. Tidak peduli seberapa besar atau kecil nilai input (x), selalu ada output (y) yang sesuai di sepanjang garis lurus.

Misalnya, perhatikan fungsi linear f(x) = 2x + 3. Jika kita memasukkan x = 1, kita mendapatkan f(1) = 5. Demikian pula, untuk x = -1, f(-1) = 1. Karena kita dapat memasukkan nilai x apa pun ke dalam fungsi dan memperoleh output yang real, range fungsi linear ini adalah semua bilangan real.

Menganalisis Range Fungsi Kuadrat

Fungsi kuadrat, yang dinyatakan sebagai f(x) = ax² + bx + c, di mana a, b, dan c adalah konstanta dan a ≠ 0, menunjukkan grafik parabola. Berbeda dengan fungsi linear, range fungsi kuadrat tidak mencakup semua bilangan real. Itu dibatasi oleh titik puncak parabola.

Perhatikan fungsi kuadrat f(x) = x² - 2x + 3. Dengan melengkapi kuadrat, kita dapat menyatakan ulang fungsi tersebut sebagai f(x) = (x - 1)² + 2. Persamaan ini menunjukkan bahwa titik puncak parabola terletak di (1, 2). Karena koefisien x² positif, parabola terbuka ke atas. Akibatnya, range fungsi kuadrat ini adalah semua bilangan real yang lebih besar dari atau sama dengan 2, ditulis sebagai f(x) ≥ 2.

Studi Kasus: Penerapan Range dalam Kehidupan Nyata

Untuk memahami signifikansi praktis dari range, mari kita pertimbangkan studi kasus yang melibatkan skenario kehidupan nyata. Bayangkan sebuah perusahaan yang memproduksi dan menjual furnitur. Biaya produksi setiap unit furnitur adalah $50, dan perusahaan menjualnya seharga $100 per unit. Fungsi keuntungan, yang mewakili keuntungan yang diperoleh perusahaan, dapat dimodelkan menggunakan fungsi kuadrat.

Biarkan x mewakili jumlah unit furnitur yang terjual. Fungsi pendapatan, yang merupakan total pendapatan yang dihasilkan dari penjualan, dapat dinyatakan sebagai R(x) = 100x. Fungsi biaya, C(x), diberikan oleh C(x) = 50x + 1000 (dengan asumsi biaya tetap $1000). Fungsi keuntungan, P(x), dihitung dengan mengurangkan fungsi biaya dari fungsi pendapatan: P(x) = R(x) - C(x) = 100x - (50x + 1000) = 50x - 1000.

Dalam hal ini, range fungsi keuntungan mewakili himpunan semua kemungkinan keuntungan yang dapat diperoleh perusahaan. Karena koefisien x dalam fungsi keuntungan positif, parabola yang mewakili fungsi keuntungan terbuka ke atas. Titik puncak parabola menunjukkan keuntungan minimum yang dapat diperoleh perusahaan. Untuk menentukan titik puncak, kita dapat menggunakan rumus x = -b / 2a, di mana a = 50 dan b = -1000. Substitusi nilai-nilai ini menghasilkan x = 10.

Oleh karena itu, perusahaan perlu menjual setidaknya 10 unit furnitur untuk mencapai keuntungan minimum. Substitusi x = 10 ke dalam fungsi keuntungan menghasilkan P(10) = 50(10) - 1000 = -500. Hasil ini menunjukkan bahwa keuntungan minimum yang dapat diperoleh perusahaan adalah -$500 (kerugian). Range fungsi keuntungan adalah semua bilangan real yang lebih besar dari atau sama dengan -$500, yang menunjukkan bahwa perusahaan dapat memperoleh keuntungan mulai dari -$500 hingga tak terhingga.

Kesimpulan

Kesimpulannya, analisis range sangat penting untuk memahami perilaku dan batasan fungsi. Sementara range fungsi linear mencakup semua bilangan real, range fungsi kuadrat dibatasi oleh titik puncak parabola. Studi kasus yang melibatkan skenario kehidupan nyata menyoroti penerapan praktis dari range, yang memungkinkan bisnis untuk menganalisis keuntungan, biaya, dan pendapatan mereka secara efektif. Dengan memahami konsep range, seseorang dapat memperoleh wawasan yang komprehensif tentang hubungan antara input dan output fungsi, yang mengarah pada pengambilan keputusan yang tepat dalam berbagai bidang.