Laju Perubahan \( y \) terhadap Waktu pada Persamaan \( y=3 \tan \left(4 x+\frac{\pi}{2}\right) \)

Dalam matematika, kita seringkali menghadapi situasi di mana kita perlu mengetahui laju perubahan suatu variabel terhadap variabel lainnya. Dalam kasus ini, kita akan membahas laju perubahan \( y \) terhadap waktu pada persamaan \( y=3 \tan \left(4 x+\frac{\pi}{2}\right) \). Pertama-tama, mari kita definisikan variabel yang terlibat dalam persamaan ini. \( x \) adalah variabel waktu, yang berkurang pada laju \( 0,4 \mathrm{rad} / \mathrm{s} \). Sedangkan \( y \) adalah variabel yang kita ingin mengetahui laju perubahannya terhadap waktu. Untuk menemukan laju perubahan \( y \) terhadap waktu, kita perlu menggunakan konsep turunan. Dalam hal ini, kita akan menggunakan turunan fungsi trigonometri yaitu turunan dari fungsi tangen. Dalam persamaan \( y=3 \tan \left(4 x+\frac{\pi}{2}\right) \), kita dapat mengaplikasikan aturan rantai untuk menemukan turunan dari fungsi ini. Aturan rantai menyatakan bahwa jika \( y=f(g(x)) \), maka turunan dari \( y \) terhadap \( x \) adalah \( \frac{dy}{dx}=\frac{dy}{dg} \cdot \frac{dg}{dx} \). Dalam kasus ini, \( f(g(x))=3 \tan \left(4 x+\frac{\pi}{2}\right) \) dan \( g(x)=4 x+\frac{\pi}{2} \). Jadi, kita perlu menemukan turunan dari \( f(g(x)) \) terhadap \( g(x) \) dan turunan dari \( g(x) \) terhadap \( x \). Turunan dari \( f(g(x)) \) terhadap \( g(x) \) dapat ditemukan dengan menggunakan aturan rantai dan aturan turunan fungsi tangen. Turunan dari fungsi tangen adalah \( \frac{d}{dx} \tan(x)=\sec^2(x) \). Jadi, turunan dari \( f(g(x)) \) terhadap \( g(x) \) adalah \( \frac{d}{dg} \left(3 \tan(g(x))\right)=3 \sec^2(g(x)) \). Turunan dari \( g(x) \) terhadap \( x \) adalah \( \frac{d}{dx} \left(4 x+\frac{\pi}{2}\right)=4 \). Sekarang, kita dapat mengalikan turunan \( f(g(x)) \) terhadap \( g(x) \) dengan turunan \( g(x) \) terhadap \( x \) untuk mendapatkan turunan dari \( y \) terhadap \( x \). Jadi, \( \frac{dy}{dx}=3 \sec^2(g(x)) \cdot 4 \). Untuk menemukan laju perubahan \( y \) terhadap waktu pada waktu tertentu \( x=\frac{\pi}{48} \), kita perlu menggantikan nilai \( x \) ke dalam turunan \( \frac{dy}{dx} \). Jadi, \( \frac{dy}{dt}=\frac{dy}{dx} \cdot \frac{dx}{dt} \). Diketahui bahwa \( \frac{dx}{dt}=-0,4 \mathrm{rad} / \mathrm{s} \). Jadi, \( \frac{dy}{dt}=3 \sec^2(g(x)) \cdot 4 \cdot -0,4 \). Dengan menggantikan nilai \( x=\frac{\pi}{48} \) ke dalam persamaan ini, kita dapat menemukan laju perubahan \( y \) terhadap waktu pada waktu tersebut. Dengan demikian, laju perubahan \( y \) terhadap waktu pada waktu \( x=\frac{\pi}{48} \) adalah \( \frac{dy}{dt}=3 \sec^2\left(4 \cdot \frac{\pi}{48}+\frac{\pi}{2}\right) \cdot 4 \cdot -0,4 \). Dalam hal ini, kita dapat menggunakan kalkulator untuk menghitung nilai persamaan ini dan menemukan laju perubahan \( y \) terhadap waktu pada waktu \( x=\frac{\pi}{48} \). Dengan demikian, kita telah menemukan laju perubahan \( y \) terhadap waktu pada persamaan \( y=3 \tan \left(4 x+\frac{\pi}{2}\right) \) pada waktu \( x=\frac{\pi}{48} \).