Bukti bahwa jika $f(x)=k$ (dengan $k$ adalah konstanta), maka $f'(x)=0$

Dalam matematika, turunan adalah konsep yang penting dalam kalkulus. Turunan dari suatu fungsi menggambarkan perubahan laju perubahan fungsi tersebut terhadap variabel independen. Dalam artikel ini, kita akan membuktikan bahwa jika suatu fungsi $f(x)$ adalah konstanta, maka turunannya $f'(x)$ akan selalu sama dengan nol. Untuk membuktikan pernyataan ini, kita akan menggunakan definisi turunan dan sifat-sifat dasar dari turunan. Definisi turunan menyatakan bahwa turunan suatu fungsi $f(x)$ pada suatu titik $x=a$ adalah batas dari perubahan fungsi tersebut dibagi perubahan variabel independen saat variabel independen mendekati titik $a$. Dalam simbol matematika, turunan dinyatakan sebagai $f'(x)=\lim_{h \to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}$. Pertama, kita akan mengasumsikan bahwa $f(x)=k$, dengan $k$ adalah konstanta. Dalam hal ini, fungsi $f(x)$ tidak bergantung pada variabel independen $x$ dan oleh karena itu tidak mengalami perubahan saat $x$ berubah. Oleh karena itu, perubahan fungsi $f(x)$ adalah nol, yaitu $f(x+h)-f(x)=0$. Selanjutnya, kita akan menggantikan perubahan fungsi dan perubahan variabel independen dalam definisi turunan. Dalam hal ini, kita akan mendapatkan $f'(x)=\lim_{h \to 0} \frac{0}{h}$. Karena perubahan fungsi adalah nol, maka turunan fungsi $f(x)$ adalah nol. Dengan demikian, kita telah membuktikan bahwa jika suatu fungsi $f(x)$ adalah konstanta, maka turunannya $f'(x)$ akan selalu sama dengan nol. Hal ini menunjukkan bahwa fungsi konstan tidak mengalami perubahan saat variabel independen berubah, sehingga laju perubahan fungsi tersebut adalah nol. Dalam kehidupan sehari-hari, konsep ini dapat diterapkan dalam berbagai situasi. Misalnya, jika kita memiliki suatu objek yang bergerak dengan kecepatan konstan, maka laju perubahan posisi objek tersebut terhadap waktu akan selalu nol. Hal ini menunjukkan bahwa objek tersebut tidak mengalami perubahan posisi saat waktu berubah. Dalam kesimpulan, kita telah membuktikan bahwa jika suatu fungsi $f(x)$ adalah konstanta, maka turunannya $f'(x)$ akan selalu sama dengan nol. Konsep ini memiliki aplikasi yang luas dalam matematika dan kehidupan sehari-hari.