Mencari Nilai Ekstrim Maksimum Fungsi dengan Syarat

Dalam artikel ini, kita akan mencari nilai ekstrim maksimum dari fungsi \( z = 4x - 2y \) dengan syarat \( x^2 - y^2 = 20 \). Kita akan menggunakan metode kalkulus untuk menyelesaikan masalah ini. Pertama, mari kita tinjau syarat yang diberikan, yaitu \( x^2 - y^2 = 20 \). Syarat ini menggambarkan sebuah kurva hiperbola dalam koordinat \( xy \). Kurva ini memiliki dua cabang yang saling simetris terhadap sumbu \( x \) dan \( y \). Selanjutnya, kita akan mencari titik-titik kritis dari fungsi \( z = 4x - 2y \). Titik kritis adalah titik-titik di mana gradien fungsi menjadi nol. Untuk mencari titik-titik kritis, kita akan mengambil turunan parsial terhadap \( x \) dan \( y \) dari fungsi \( z \). Setelah kita menemukan titik-titik kritis, kita akan mengevaluasi fungsi \( z \) pada titik-titik tersebut. Nilai yang paling besar dari fungsi \( z \) akan menjadi nilai ekstrim maksimum yang kita cari. Dengan menggunakan metode kalkulus, kita dapat menemukan bahwa titik-titik kritis dari fungsi \( z \) adalah \( (2, -2) \) dan \( (-2, 2) \). Kita akan mengevaluasi fungsi \( z \) pada kedua titik ini. Pada titik \( (2, -2) \), nilai fungsi \( z \) adalah \( 4(2) - 2(-2) = 16 \). Pada titik \( (-2, 2) \), nilai fungsi \( z \) adalah \( 4(-2) - 2(2) = -16 \). Dengan demikian, nilai ekstrim maksimum dari fungsi \( z \) dengan syarat \( x^2 - y^2 = 20 \) adalah 16. Dalam artikel ini, kita telah berhasil mencari nilai ekstrim maksimum dari fungsi \( z = 4x - 2y \) dengan syarat \( x^2 - y^2 = 20 \). Metode kalkulus yang digunakan dapat diterapkan pada masalah-masalah serupa.