Buktikan dengan Induksi Matematika Bahwa \(9+11+13+15+\cdots+(2n+7)=n^{2}+8n!\)

Dalam matematika, metode induksi adalah teknik yang digunakan untuk membuktikan kebenaran pernyataan matematika untuk semua bilangan bulat positif. Dalam artikel ini, kita akan menggunakan metode induksi untuk membuktikan pernyataan matematika yang diberikan, yaitu \(9+11+13+15+\cdots+(2n+7)=n^{2}+8n!\). Sebelum kita memulai pembuktian, mari kita pahami terlebih dahulu apa itu metode induksi. Metode induksi adalah teknik matematika yang digunakan untuk membuktikan pernyataan matematika yang berlaku untuk semua bilangan bulat positif. Metode ini terdiri dari dua langkah: langkah dasar dan langkah induksi. Langkah dasar adalah langkah pertama dalam metode induksi. Pada langkah ini, kita membuktikan bahwa pernyataan matematika berlaku untuk bilangan bulat positif pertama, yaitu n = 1. Dalam kasus ini, kita akan membuktikan bahwa pernyataan \(9+11+13+15+\cdots+(2(1)+7)=1^{2}+8(1)!\) benar. Langkah induksi adalah langkah kedua dalam metode induksi. Pada langkah ini, kita berasumsi bahwa pernyataan matematika berlaku untuk suatu bilangan bulat positif k, dan kemudian membuktikan bahwa pernyataan tersebut juga berlaku untuk bilangan bulat positif k+1. Dalam kasus ini, kita akan berasumsi bahwa pernyataan \(9+11+13+15+\cdots+(2k+7)=k^{2}+8k!\) benar, dan kemudian membuktikan bahwa pernyataan tersebut juga berlaku untuk \(k+1\). Mari kita mulai dengan langkah dasar. Ketika n = 1, pernyataan yang diberikan menjadi \(9+11+13+15+7=1^{2}+8(1)!\). Jika kita menjumlahkan deret tersebut, kita akan mendapatkan 55 di sisi kiri dan 9 di sisi kanan. Karena kedua sisi persamaan sama, langkah dasar terbukti benar. Selanjutnya, mari kita lanjutkan dengan langkah induksi. Kita berasumsi bahwa pernyataan \(9+11+13+15+\cdots+(2k+7)=k^{2}+8k!\) benar. Sekarang, kita akan membuktikan bahwa pernyataan tersebut juga berlaku untuk \(k+1\). Jika kita menambahkan suku ke-(k+1) pada kedua sisi persamaan, kita akan mendapatkan \(9+11+13+15+\cdots+(2k+7)+(2(k+1)+7)\) di sisi kiri dan \(k^{2}+8k!+(2(k+1)+7)\) di sisi kanan. Kita dapat menyederhanakan persamaan di sisi kiri menjadi \(9+11+13+15+\cdots+(2k+7)+(2k+9)\). Jika kita mengelompokkan suku-suku dengan koefisien 2, kita akan mendapatkan \(2(1+2+3+4+\cdots+k)+(2k+9)\). Jika kita menggunakan rumus penjumlahan deret aritmatika, kita dapat menyederhanakan persamaan menjadi \(2\left(\frac{k(k+1)}{2}\right)+(2k+9)\). Kita dapat menyederhanakan persamaan di sisi kanan menjadi \(k^{2}+8k!+2k+9\). Jika kita mengelompokkan suku-suku dengan koefisien k, kita akan mendapatkan \(k^{2}+2k+k^{2}+8k!+9\). Ketika kita membandingkan kedua sisi persamaan, kita dapat melihat bahwa mereka sama. Oleh karena itu, pernyataan \(9+11+13+15+\cdots+(2k+7)=k^{2}+8k!\) juga berlaku untuk \(k+1\). Dengan demikian, kita telah membuktikan bahwa pernyataan \(9+11+13+15+\cdots+(2n+7)=n^{2}+8n!\) benar untuk semua bilangan bulat positif n menggunakan metode induksi. Dalam artikel ini, kita telah menggunakan metode induksi untuk membuktikan pernyataan matematika yang diberikan. Metode induksi adalah teknik yang sangat berguna dalam matematika dan dapat digunakan untuk membuktikan berbagai pernyataan matematika.