Analisis Grupoid dan Semigrup dalam Himpunan Bilangan Bulat

Dalam matematika, grupoid dan semigrup adalah struktur aljabar yang penting untuk mempelajari sifat-sifat operasi pada himpunan. Dalam artikel ini, kita akan menganalisis apakah operasi yang diberikan pada himpunan bilangan bulat memenuhi sifat-sifat grupoid dan semigrup. Khususnya, kita akan memeriksa apakah operasi tersebut komutatif. Grupoid adalah struktur aljabar yang terdiri dari himpunan dan operasi yang didefinisikan pada himpunan tersebut. Untuk memeriksa apakah operasi yang diberikan pada himpunan bilangan bulat merupakan grupoid, kita perlu memeriksa apakah operasi tersebut memenuhi sifat tertentu. Pertama, mari kita periksa operasi (i) $a\circ b=\frac {1}{2}(a+b)$. Untuk memeriksa apakah operasi ini merupakan grupoid, kita perlu memeriksa apakah operasi ini tertutup, yaitu apakah hasil operasi antara dua bilangan bulat juga merupakan bilangan bulat. Dalam hal ini, operasi tersebut memenuhi sifat ini, karena hasil dari operasi antara dua bilangan bulat juga merupakan bilangan bulat. Selanjutnya, mari kita periksa operasi (ii) $a\circ b=a+2b$. Kembali, kita perlu memeriksa apakah operasi ini tertutup. Dalam hal ini, operasi ini juga memenuhi sifat ini, karena hasil dari operasi antara dua bilangan bulat juga merupakan bilangan bulat. Selanjutnya, mari kita periksa operasi (iii) $a\circ b=a+b+2ab$. Kembali, kita perlu memeriksa apakah operasi ini tertutup. Dalam hal ini, operasi ini juga memenuhi sifat ini, karena hasil dari operasi antara dua bilangan bulat juga merupakan bilangan bulat. Terakhir, mari kita periksa operasi (iv) $a\circ h=0$. Kembali, kita perlu memeriksa apakah operasi ini tertutup. Dalam hal ini, operasi ini juga memenuhi sifat ini, karena hasil dari operasi antara bilangan bulat dan 0 adalah 0, yang merupakan bilangan bulat. Dari analisis di atas, kita dapat menyimpulkan bahwa operasi (i), (ii), (iii), dan (iv) merupakan grupoid dalam himpunan bilangan bulat. Selanjutnya, kita akan memeriksa apakah grupoid-grupoid tersebut juga merupakan semigrup. Semigrup adalah grupoid yang juga memenuhi sifat asosiatif, yaitu $(a\circ b)\circ c=a\circ (b\circ c)$. Untuk memeriksa apakah grupoid-grupoid tersebut juga merupakan semigrup, kita perlu memeriksa apakah operasi-operasi tersebut memenuhi sifat asosiatif. Setelah melakukan analisis lebih lanjut, kita dapat menyimpulkan bahwa operasi (i) dan (ii) merupakan semigrup dalam himpunan bilangan bulat, karena operasi-operasi tersebut memenuhi sifat asosiatif. Terakhir, kita perlu memeriksa apakah grupoid-grupoid tersebut juga bersifat komutatif. Grupoid yang bersifat komutatif disebut juga grupoid komutatif atau abelian. Untuk memeriksa apakah grupoid-grupoid tersebut bersifat komutatif, kita perlu memeriksa apakah operasi-operasi tersebut memenuhi sifat komutatif, yaitu $a\circ b=b\circ a$. Setelah melakukan analisis lebih lanjut, kita dapat menyimpulkan bahwa operasi (i) dan (ii) bersifat komutatif dalam himpunan bilangan bulat, karena operasi-operasi tersebut memenuhi sifat komutatif. Dalam kesimpulan, operasi (i) dan (ii) pada himpunan bilangan bulat merupakan grupoid, semigrup, dan juga bersifat komutatif. Analisis ini memberikan pemahaman yang lebih dalam tentang sifat-sifat operasi pada himpunan bilangan bulat dan dapat digunakan sebagai dasar untuk mempelajari struktur aljabar yang